Stochastische Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Di 05.01.2010 | | Autor: | Bibijana |
| Aufgabe | Seien [mm] (X_{k})_{k \in \IN} [/mm] unabhängig identisch verteilte reelle Zufallsvariablen auf [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] mit Verteilfunktion F.
Für [mm] n\in \IN [/mm] und festes x [mm] \in \IR [/mm] definieren wir:
[mm] F_n(x):\Omega\mapsto \IQ
[/mm]
[mm] \omega\mapsto F_{n}(x)(\omega):=1/n*\summe_{k=1}^{n}I_{\{X_{k}\le x\} }(\omega)
[/mm]
zz: [mm] F_{n}(x)\mapsto [/mm] (Stochastisch) F(x) |
Hi.
Ich habe gedacht vielleicht kann man den Erwartungswert von
[mm] Y_{i}:=1/i*\summe_{k=1}^{i}I_{\{X_{k}\le x\} }(\omega) [/mm] berechen, bzw. wenn als Erwartungswert F(x) rauskäme und die Varianz für [mm] i\mapsto \infty [/mm] gegen 0 ginge könnte ich Tschebychev anwenden und wäre fertig.
Allerding komme ich schon mit der Überlegung wie der Erwartunswert für [mm] Y_{i} [/mm] aussieht nicht weiter und habe auch keine Idee für einen anderen Ansatz. Wäre super wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Di 05.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Bibijna,
[mm] $Y_i$ [/mm] ist das arithmetische Mittel identisch verteilter und unabhaengiger Zufallsvariablen. Also brauchst du nur die Verteilung von [mm] $I_{\{X_{k}\le x\} }$...
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Di 05.01.2010 | | Autor: | Bibijana |
Ok, erstmal danke.
Ich habe jetzt anders definiert:
[mm] Y_{i}:=I_{\{X_{i} \le x\}}(\omega).
[/mm]
[mm] Y_{i} [/mm] sind unabhängig identisch verteilt ,also paarw. unkorreliert falls die zweiten momente exitieren.(Muß ich die zweiten Momente speziell ausrechnen oder kann man das irgendwie begründen???). Dann sind die Vorraussetzungen für das Gesetz der großen Zahl erfüllt und
[mm] 1/n*\summe_{i=1}^{n}Y_{i} \mapsto [/mm] (stochastisch) [mm] EY_{1}
[/mm]
[mm] EY_{1}=1*P_{Y_{1}}(1)+0*P_{Y_{1}}(0)=P_{Y_{1}}(1)
[/mm]
[mm] =P(Y_{1}=1)=P(Y_{1}^{-1}(1))
[/mm]
[mm] =P(X_{1}^{-1}(-\infty,x])
[/mm]
[mm] =P(X_{1} \le [/mm] x)=F(x)
und damit folgt nach dem Gesetz der großen Zahl die Behauptung.
Stimmt das so?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Di 05.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Ok, erstmal danke.
> Ich habe jetzt anders definiert:
> [mm]Y_{i}:=I_{\{X_{i} \le x\}}(\omega).[/mm]
> [mm]Y_{i}[/mm] sind
> unabhängig identisch verteilt ,also paarw. unkorreliert
> falls die zweiten momente exitieren.(Muß ich die zweiten
> Momente speziell ausrechnen oder kann man das irgendwie
> begründen???).
Nein, die [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] und damit die [mm] $Y_1,\dots,Y_n$ [/mm] sind ja sogar unabhaengig.
> Dann sind die Vorraussetzungen für das
> Gesetz der großen Zahl erfüllt und
> [mm]1/n*\summe_{i=1}^{n}Y_{i} \mapsto[/mm] (stochastisch) [mm]EY_{1}[/mm]
>
> [mm]EY_{1}=1*P_{Y_{1}}(1)+0*P_{Y_{1}}(0)=P_{Y_{1}}(1)[/mm]
> [mm]=P(Y_{1}=1)=P(Y_{1}^{-1}(1))[/mm]
> [mm]=P(X_{1}^{-1}(-\infty,x])[/mm]
> [mm]=P(X_{1} \le[/mm] x)=F(x)
> und damit folgt nach dem Gesetz der großen Zahl die
> Behauptung.
> Stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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