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| Aufgabe | Einem Passanten wird an einer strassenecke folgesndes Spiel angeboten:
In einer Urne befinden sich 10 schwarze, 5 rote und eine goldene Kugel.Es werden zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen. Dabei haben alle Kugeln unabhängig von iherer Farbe die gleiche Chance gezogen zu werden.
- Falls beide gezogenen Kugeln schwarz sind, verliert man seinen einsatz.
- Falls eine der gezogenen Kugeln golden ist, erhält man den vierfachen Einsatz zurück.
- Ansonsten erhält man seinen Einsatz zurück.
Ist das Spiel fair? Berechnen Sie dazu den Erwartungswert des Gewinns. |
Hallo Leute,
wir haben die Aufgabe wie unten beschrieben gelöst. Wollten nur wissen, ob das so OK ist, und ob es einen eleganteren Weg gibt, um die Lösung kürzer zu gestlaten.
Hier unser Lösungsweg:
Wir haben folgende Ereignisse aufgelistet und untersucht. [mm] E_{ab} [/mm] steht für die Ziehung einer Kugel der Farbe a und einer der Farbe b:
[mm] E_{ss} \Rightarrow [/mm] Einsatz verloren
[mm] E_{sr} \Rightarrow [/mm] Einsatz zürück erhalten
[mm] E_{rr} \Rightarrow [/mm] Einsatz zürück erhalten
[mm] E_{sg} \Rightarrow [/mm] 4 Fachen Einsatz erhalten
[mm] E_{rg} \Rightarrow [/mm] 4 Fachen Einsatz erhalten
Nun haben wir mit Hilfe der folgenden Formel die jeweiligien Wahrscheinlichkeiten berechnet:
[mm]P(E_{rs})=\bruch{{R \choose r} \cdot {S \choose s} \cdot {N-R-S \choose n-r-s}}{{N \choose n}}[/mm]
Daraus ergeben sich für die einzelnen Ereignisse die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
[mm] P(E_{ss})=[/mm] [mm]P(E_{ss})=\bruch{{10 \choose 2} \cdot {5 \choose 0} \cdot {1 \choose 0}}{{16 \choose 2}}=0.375[/mm]
[mm] P(E_{sr})=[/mm] [mm]P(E_{sr})=\bruch{{10 \choose 1} \cdot {5 \choose 1} \cdot {1 \choose 0}}{{16 \choose 2}}=0.416[/mm]
[mm] P(E_{rr})=[/mm] [mm]P(E_{rr})=\bruch{{10 \choose 0} \cdot {5 \choose 2} \cdot {1 \choose 0}}{{16 \choose 2}}=0.083[/mm]
[mm] P(E_{sg})=[/mm] [mm]P(E_{sg})=\bruch{{10 \choose 1} \cdot {5 \choose 0} \cdot {1 \choose 1}}{{16 \choose 2}}=0.083[/mm]
[mm] P(E_{rg})=[/mm] [mm]P(E_{rg})=\bruch{{10 \choose 0} \cdot {5 \choose 1} \cdot {1 \choose 1}}{{16 \choose 2}}=0.0416[/mm]
Daraus ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten für die drei Spielausgänge:
[mm] P(Einsatzverloren)=P(E_{ss})=0.375
[/mm]
P(Einfachen Einsatz [mm] zurück)=P(E_{sr})+P(E_{rr})=0.499
[/mm]
P(Vierfachen Einsatz [mm] zurück)=P(E_{sg})+P(E_{rg})=0.1246
[/mm]
Da die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen oder zumindest seinen Einsatz zurück zu bekommen höher ist als die Wahrscheinlichkeit den Einsatz zu verlieren, ist das Spiel für den Spieler fair.
Erwartungswert:
-1 für Verlieren
1 für einfachen Gewinn
4 für Vierfachen Gewinn
E=4 [mm] \cdot [/mm] 0.1246 + 1 [mm] \cdot [/mm] 0.499 - 1 [mm] \cdot [/mm] 0.375 = 0.6224
Unsere Fragen dazu:
1. Ist alles richtig gedacht und berechnet?
2. Ist das Spiel fair oder nicht? Wenn wir z.B. 10 einsetzen, erwarten wir (Erwartungswert) ca. 6,20 zu gewinnen. Das passt irgendwie nicht zusammen !
3. Ist der Erwartungswert korrekt?
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Di 19.08.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Gedacht ist alles richtig, allerdings erhalte ich für den vierfachen gewinn etwas anderes, nämlich [mm] P("vierfach")=\bruch{1}{8}=0,125. [/mm] Bei P("verloren") erhalte ich auch [mm] \bruch{3}{8}=0,375.
[/mm]
Da man beim Rest den Einsatz zurück bekommt, hättest du das gar nicht extra berechnen müssen!
P("Einsatz [mm] zurück")=1-P("vierfach")-P("verloren")=\bruch{1}{2}=0,5.
[/mm]
Beim Erwartungswert würde ich folgendes sagen:
E=4a*0,125+a*0,5+0a*0,375-a=0
a ist der Einsatz.
Und zur Erklärung: Zu 0,125 erhalte ich 4a zurück, zu 0,5 erhalte ich genau a zurück und zu 0,375 erhalte ich nichts, also 0a zurück. Außerdem kostet mich jedes Spiel einen Einsatz von a, daher die -a noch am Ende.
Da der Erwartungswert 0 ist, wird man langfristig also nichts gewinnen oder verlieren: das Spiel ist fair!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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