Stimmt der Beweis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 11.11.2010 | | Autor: | kalor |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Sei $\ G $ eine Grupep, $\ N $ normal in $\ G$. Die Untergruppen von $\ G/N $ sind $\ H/N $ mit $\ N [mm] \subset [/mm] H [mm] \le [/mm] G$. |
Ich möchte obige Aussage zeigen: Ich benütze dafür das bekannte Untergruppenkriterium:
[mm] U \le G \gdw [a,b \in U \Rightarrow ab^{-1} \in U][/mm]
Sei $\ H$ wie oben:
[mm] (HN)(HN)^{-1} = (HN)(N^{-1}H^{-1}) = (HN)(NH) = HNH = HHN = HN[/mm]
Evt. müsste irgendwo ein $\ [mm] \subset$ [/mm] anstatt = stehen. In der zweitletzten Gleichung benütze ich, dass N auch in H normal ist.
Stimmt der Beweis so?
gruss kalor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:00 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie: Sei [mm]\ G[/mm] eine Grupep, [mm]\ N[/mm] normal in [mm]\ G[/mm]. Die
> Untergruppen von [mm]\ G/N[/mm] sind [mm]\ H/N[/mm] mit [mm]\ N \subset H \le G[/mm].
>
> Ich möchte obige Aussage zeigen: Ich benütze dafür das
> bekannte Untergruppenkriterium:
>
> [mm]U \le G \gdw [a,b \in U \Rightarrow ab^{-1} \in U][/mm]
>
> Sei [mm]\ H[/mm] wie oben:
>
> [mm](HN)(HN)^{-1} = (HN)(N^{-1}H^{-1}) = (HN)(NH) = HNH = HHN = HN[/mm]
>
> Evt. müsste irgendwo ein [mm]\ \subset[/mm] anstatt = stehen. In
Also "$=$" passt schon.
> der zweitletzten Gleichung benütze ich, dass N auch in H
> normal ist.
> Stimmt der Beweis so?
Nunja.
Du hast bewiesen, dass $H N$ eine Untergruppe von $G$ ist.
Aber was hat das mit der Aufgabenstellung zu tun? Erstmal gar nichts!
Du sollst zeigen:
ist $A := [mm] \{ H \subseteq G \mid H \text{ Untergruppe von } G \text{ und } N \subseteq H \}$ [/mm] und $B := [mm] \{ H' \subseteq G/N \mid H' \text{ Untergruppe von } G/N \}$, [/mm] so sollst du zeigen, dass die Abbildung [mm] $\Psi [/mm] : A [mm] \to [/mm] B$ mit $H [mm] \mapsto [/mm] H/N$
a) wohldefiniert ist,
b) injektiv ist,
c) surjektiv ist.
LG Felix
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