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Hallo zusammen,
Wir fangen grad mit der Normalverteilung an und in diesem Zusammenhang hatten wir die Stetigkeitskorrektur. Dass ich das machen kann ohne was zu verändern hab ich verstanden, da ja X nur ganzzahlige werte annehmen kann, d.h. ob [mm] $1\le [/mm] X$ oder [mm] $\bruch{1}{2} \le [/mm] X$ trifft jeweils die gleichen Ereignisse.
Aber warum mach ich das? Es steht überall (in vielen Büchern) das es genauer ist, aber nicht warum. Es steht dabei weiter, dass es bei großer Varianz keine Rolle spielt.
Kann mir jemand erklären, warum die Stetigkeitskorrektur gemacht wird?
Danke!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Fr 11.12.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Kann mir jemand erklären, warum die Stetigkeitskorrektur
> gemacht wird?
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Moin Kai,
man kann eine pragmatische Haltung einnehmen und sagen:
Sie funktioniert halt.
Aber das wird dich wahrscheinlich nicht befriedigen. Ich versuchs mal so. Bekanntlich ist [mm] $P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$, $x=0,1,2,\dots,n$. [/mm] Diese Wsk wird durch eine *Flaeche* approximiert, naemlich die unter der Dichte $f_$ der Normalverteilung mit [mm] $\mu=np$ [/mm] und [mm] $\sigma=np(1-p)$. [/mm] Nun ist aber [mm] $\int_x^xf(t)\,dt=0$, [/mm] was keine sinnvolle Approximation ist. Anderereseits ist [mm] $P(X=x)=P(x-\varepsilon\le X\le x+\varepsilon)$ [/mm] fuer jedes [mm] $0<\varepsilon<1$, [/mm] und [mm] $\int_{x-\varepsilon}^{x+\varepsilon}f(t)\,dt>0$ [/mm] ist ein vernuenftiges Ergebnis. Wie aber ist [mm] \varepsilon [/mm] zu waehlen? Die Setzung [mm] $\varepsilon=1/2$ [/mm] scheint ein vernuenftiger Kompromiss, nicht zu gross und nicht zu klein.
Folgerung:
[mm] \begin{matrix} P(X\le x)&=&P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(x=x) \\ &\approx&\int_{0-1/2}^{0+1/2}f(t)\,dt+ \int_{1-1/2}^{1+1/2}f(t)\,dt+\dots+ \int_{x-1/2}^{x+1/2}f(t)\,dt \\ &=&\Phi\left(\dfrac{x+1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi\left(\dfrac{-1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \\ &\approx&\Phi\left(\dfrac{x+1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \end{matrix}
[/mm]
Ist $n_$ hinreichend gross, so kann man den Summanden [mm] $(1/2)/\sqrt{np(1-p)}$ [/mm] in [mm] $\Phi\left(\dfrac{x+1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$ [/mm] vernachlaessigen.
vg Luis
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Ersteinmal vielen Dank für die Antwort. Erscheint mir logisch.
Also gibt es keinen formalen Beweis, dass die Approximation dadurch besser ist, so wie man z.B. zeigen kann, dass Relaxation für schnellere Konvergenz bei Iterativen Lösern von lin. Gleichungssystemen unter div. Voraussetzungen führt (ein wahrscheinlich schlechtest Bsp., aber da geht es ja auch vom intuitiven zum formalen)?
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Fr 11.12.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Also gibt es keinen formalen Beweis, dass die Approximation
> dadurch besser ist,
Ein formaler Beweis wird wohl nicht gefuehrt werden koennen. Warum?
Betrachte [mm] $|P(X\le x)-\Phi((x+\varepsilon-np)/\sqrt{np(1-p)})|=:G(n,p,x,\varepsilon)$. [/mm] Es wird wohl nicht
zu beweisen sein, dass $G(n,p,x,1/2)$ den Ausdruck [mm] $G(n,p,x,\varepsilon)$ [/mm]
fuer alle [mm] $n\in \IN$, $p\in(0,1)$ [/mm] und [mm] $x=0,1,\dots,n$ [/mm] minimiert.
(In der Tat, die Aussage stimmt auch nicht).
So viel sei gesagt: Es gibt ungefaehr 1000000 Publikationen, die sich mit
dieser Approximation beschaeftigen.
vg Luis
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