Stetigkeit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man untersuche, in welchen Punkten des [mm] \IR^2 [/mm] die folgenden Funktionen f stetig sind:
a) f (x,y) = [mm] \bruch{xy}{x^{2} + y^{2}} [/mm] (x,y [mm] \not= [/mm] (0,0), f (0,0) = 0
b)f (x,y) = [mm] \bruch{xy^{2}}{x^{2} + y^{2}} [/mm] (x,y [mm] \not= [/mm] (0,0), f (0,0) = 0
c) f (x,y) = 0 für xy = 0 und f(x,y) =1 für xy [mm] \not=0 [/mm] |
Hey !
Also Stetigkeit habe ich im ersten Semester schon bei eindimensionalen Räumen nicht so ganz verstanden, also wie man es nachweist zumindest.
Zu Aufgabenteil a habe ich jetzt hier irgendwo schon gelesen, dass die Fkt unstetig im Ursprung ist. Also suche ich mir eine Folge, die gegen Null konvergiert, aber deren Bildfolge nicht mit dem Funktionswert an dieser Stelle (also dem Ursprung) übereinstimmt.
Sei [mm] x_{n}= [/mm] 1/n und [mm] y_{n} [/mm] = 1/n
f [mm] (\vektor{1/n \\ 1/n} [/mm] = [mm] \bruch{1/n * 1/n}{(1/n)^{2} + (1/n)^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1/n^{2}}{2/n^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \not= [/mm] f (0,0) = 0
also ist die Fkt unstetig im Ursprung. Ist das so richtig? Ist sie sonst überall stetig, weil sie eine Komposition aus stetigen Fkt (sprich Produkt, Summe, Quotient für Nenner ungleich Null) ist?? Wenn ich jetzt nicht wüsste, ob die Fkt im Nullpunkt stetig oder unstetig ist, wie kann ich mit dem Delta-Epsilon Kriterium zeigen, dass sie eben in Null nicht stetig ist?
Zu b) Sei d ( (x, y) , (0,0) ) = [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Wähle nun [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \vmat{ f (x, y) - f (0,0)} [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{xy^{2}}{x^{2} + y^{2}} }
[/mm]
= [mm] \vmat{ y} [/mm] * [mm] \vmat{\bruch{x}{\wurzel{x^{2} +
y^{2}}} } [/mm] * [mm] \vmat{\bruch{y}{\wurzel{x^{2} +
y^{2}}} }
[/mm]
[mm] \le \vmat{ y} \le \wurzel{x^{2} + y^{2}} \le \delta
[/mm]
= [mm] \varepsilon [/mm] q.e.d.
Geht das so? Und bei Nummer c muss ich ja wiederum überprüfen, ob die Fkt im Nulllpunkt stetig ist, oder? Wie gehe ich da jetzt am besten vor? Mit Epsilon-Delta-Kriterium oder Folgendefinition?
Vielen Dank für Eure Antworten! Lg, Julia
Ich habe die Fragen in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Man untersuche, in welchen Punkten des [mm]\IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die folgenden
> Funktionen f stetig sind:
>
> a) $f (x,y) = \bruch{xy}{x^{2} + y^{2}} (x,y \not= (0,0), f (0,0) = 0$
> b)$ f (x,y) = \bruch{xy^{2}}{x^{2} + y^{2}} (x,y \not= 0,0), f (0,0) = 0$
> c) $f (x,y) = 0$ für $xy = 0$ und $f(x,y) =1$ für $xy\not=0$
> Hey !
>
> Also Stetigkeit habe ich im ersten Semester schon bei
> eindimensionalen Räumen nicht so ganz verstanden, also wie
> man es nachweist zumindest.
> Zu Aufgabenteil a habe ich jetzt hier irgendwo schon
> gelesen, dass die Fkt unstetig im Ursprung ist. Also suche
> ich mir eine Folge, die gegen Null konvergiert, aber deren
> Bildfolge nicht mit dem Funktionswert an dieser Stelle
> (also dem Ursprung) übereinstimmt.
Richtig.
>
> Sei $x_{n}= 1/n$ und $y_{n} = 1/n$
> $f(\vektor{1/n \\ 1/n} = \bruch{1/n * 1/n}{(1/n)^{2} + (1/n)^{2}} = \bruch{1/n^{2}}{2/n^{2}} = \bruch{1}{2} \not= f (0,0) = 0$
>
> also ist die Fkt unstetig im Ursprung. Ist das so richtig?
Ja - und Du hast die Überlegung weiter oben auch klar formuliert: wäre $f$ stetig, so müsste die Folge der Bilder unter $f$ einer jeden gegen $(0,0)$ konvergenten Folge gegen $f(0,0)$ konvergieren, was hier offenbar nicht der Fall ist. Also ist $f$ in $(0,0)$ nicht stetig.
> Ist sie sonst überall stetig, weil sie eine Komposition aus
> stetigen Fkt (sprich Produkt, Summe, Quotient für Nenner
> ungleich Null) ist??
Ja. Bedenke zudem (was oft vergessen geht): die Projektionen, $\pi_1: \IR^2\ni (x,y)\mapsto x\in \IR$ und $\pi_2:\IR^2\ni (x,y)\mapsto y\in \IR$, des $\IR^2$ auf die beiden $\IR$-Koordinatenachsen (Koordinatenräume) sind ebenfalls stetig.
> Wenn ich jetzt nicht wüsste, ob die
> Fkt im Nullpunkt stetig oder unstetig ist, wie kann ich mit
> dem Delta-Epsilon Kriterium zeigen, dass sie eben in Null
> nicht stetig ist?
Du kannst hier praktisch einfach die Information auswerten, die Du aus Deinem obigen Beweis mittels "Testfolge" hast. Im Detail: Du kannst zeigen, dass es ein $\varepsilon>0$ gibt (etwa $\varepsilon := \frac{1}{4}$, jedenfalls ein $\varepsilon < \frac{1}{2}$), so dass sich kein $\delta > 0$ finden lässt, für das gilt $|f(x,y)-f(0,0)|<\varepsilon$, sofern $(x,y)\in \dot{U}_{\delta}(0,0)\}$.
Denn für jedes $\delta >0$ kannst Du ja ein $n\in\IN$ angeben, so dass zwar $\big(\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n}\big)\in \dot{U}_{\delta}(0,0)$ ist (etwa $n := \ceill \tfrac{2}{\delta}\ceilr$), aber $|f\big(\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n}\big)-f(0,0)|=\tfrac{1}{2}>\varepsilon$.
>
> Zu b) Sei $d( (x, y) , (0,0) ) = \wurzel{x^{2}+y^{2}} <
\delta$
> Wähle nun $\delta = \varepsilon \vmat{ f (x, y) - f (0,0)} = \vmat{\bruch{xy^{2}}{x^{2} + y^{2}} } = \vmat{ y} * \vmat{\bruch{x}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}} } * \vmat{\bruch{y}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}} } \le \vmat{ y} \le \wurzel{x^{2} + y^{2}} \le \delta = \varepsilon$ q.e.d.
>
> Geht das so?
Meiner Meinung nach ja: ich finde, Du hast dies sogar recht elegant gemacht 
> Und bei Nummer c muss ich ja wiederum
> überprüfen, ob die Fkt im Nulllpunkt stetig ist, oder?
Hmm. Diese Funktion ist aber, im Unterschied zu den Funktionen von Teilaufgaben a) und b), nicht nur im Ursprung unstetig sondern auch in jedem Punkt der $x$- bzw. der $y$-Achse...
>Wie gehe ich da jetzt am besten vor? Mit
> Epsilon-Delta-Kriterium oder Folgendefinition?
Es ist klar, dass diese Funktion beliebig nahe bei $(x_0,0)$ bzw. $(0,y_0)$ sowohl den Wert $1$ als auch den Wert $0$ annimmt (denn es gibt beliebig nahe bei $(x_0,0)$ bzw. $(0,y_0)$ Punkte $(x,y)$, die wahlweise $xy=0$ oder $xy\neq 0$ erfüllen).
Du kannst die Unstetigkeit dieser Funktion an den Stellen $(x_0,0)$ bzw. $(0,y_0)$ auf beiden Wegen, durch Widerlegung der Erfüllbarkeit der $\varepsilon$-$\delta$-Bedingung in einem Punkt der Form $(x_0,0)$ bzw. $(0,y_0)$ oder durch Nachweis einer nicht gegen $f(x_0,0)$ bzw. $f(0,y_0)$ konvergenten Testfolge, vergleichsweise leicht zeigen.
|
|
|
| |
|
> Zu b) Sei d( (x, y) , (0,0) ) = [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Wähle nun [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]
> [mm] \vmat{ f (x, y) - f (0,0)} [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{xy^{2}}{x^{2} + y^{2}} } [/mm] = [mm] \vmat{ y} \cdot{} \vmat{\bruch{x}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}} } \cdot{} \vmat{\bruch{y}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}} } \le \vmat{ y} \le \wurzel{x^{2} + y^{2}} \le \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] $ q.e.d.
>
> Geht das so?
> Meiner Meinung nach ja: ich finde, Du hast dies sogar recht elegant
> gemacht
Also wenn ich das aber nach dem gleichen Muster bei Aufgabenteil a mache, passt das iwie auch? Also so:
Sei d( (x, y) , (0,0) ) = [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Wähle nun [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \vmat{ f (x, y) - f (0,0)} [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{xy}{x^{2} + y^{2}} } [/mm] = [mm] \vmat{ x} \cdot{} \vmat{\bruch{y}{{x^{2} + y^{2}}} } \le \vmat{ x} \le \wurzel{x^{2} + y^{2}} \le \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] $
??? Da stimmt ja irgendwas offensichtlich nicht. Ich weiß aber eben nicht so richtig, was..
> Und bei Nummer c muss ich ja wiederum
> überprüfen, ob die Fkt im Nulllpunkt stetig ist, oder?
>Hmm. Diese Funktion ist aber, im Unterschied zu den Funktionen von >Teilaufgaben a) und b), nicht nur im Ursprung unstetig sondern auch in >jedem Punkt der x- bzw. der y-Achse...
Wie sehe ich das direkt?
>Wie gehe ich da jetzt am besten vor? Mit
> Epsilon-Delta-Kriterium oder Folgendefinition?
>Es ist klar, dass diese Funktion beliebig nahe bei $ [mm] (x_0,0) [/mm] $ bzw. $
> [mm] (0,y_0) [/mm] $ sowohl den Wert 1 als auch den Wert 0 annimmt (denn es gibt >beliebig nahe bei $ [mm] (x_0,0) [/mm] $ bzw. $ [mm] (0,y_0) [/mm] $ Punkte (x,y), die wahlweise >xy=0 oder $ [mm] xy\neq [/mm] 0 $ erfüllen).
>Du kannst die Unstetigkeit dieser Funktion an den Stellen $ [mm] (x_0,0) [/mm] $ bzw. >$ [mm] (0,y_0) [/mm] $ auf beiden Wegen, durch Widerlegung der Erfüllbarkeit der $ [mm] >\varepsilon [/mm] $-$ [mm] \delta [/mm] $-Bedingung in einem Punkt der Form $ [mm] (x_0,0) [/mm] $ >bzw. $ [mm] (0,y_0) [/mm] $ oder durch Nachweis einer nicht gegen $ [mm] f(x_0,0) [/mm] $ bzw. >$ [mm] f(0,y_0) [/mm] $ konvergenten Testfolge, vergleichsweise leicht zeigen.
Also Moment, xy = 0 nur dann wenn eben x oder y = 0 ist, richtig? 'Du meinst ich kann mir eine Folge konstruieren, deren Grenzwert eben Null ist, deren Bildfolge aber nicht mit dem Funktionswert übereinstimmt ? Bzw. dasselbe mit 1 ? Oder was meinst du mit Punkten, die eben wahlweise xy = 0 bzw. xy= 1 erfüllen? Versteh ich grad nicht. Hmm...
sorry, hab das mit dem kursiv grad nich hinbekommen !
|
|
|
| |
|
> > Zu b) Sei d( (x, y) , (0,0) ) = [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] <
> [mm]\delta[/mm]
>
>
> Wähle nun [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> > [mm]\vmat{ f (x, y) - f (0,0)}[/mm] = [mm]\vmat{\bruch{xy^{2}}{x^{2} + y^{2}} }[/mm]
> = [mm]\vmat{ y} \cdot{} \vmat{\bruch{x}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}} } \cdot{} \vmat{\bruch{y}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}} } \le \vmat{ y} \le \wurzel{x^{2} + y^{2}} \le \delta[/mm]
> = [mm]\varepsilon[/mm] $ q.e.d.
> >
> > Geht das so?
>
> > Meiner Meinung nach ja: ich finde, Du hast dies sogar recht
> elegant
> > gemacht
>
> Also wenn ich das aber nach dem gleichen Muster bei
> Aufgabenteil a mache, passt das iwie auch? Also so:
> Sei d( (x, y) , (0,0) ) = [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] < [mm]\delta[/mm]
>
>
> Wähle nun [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\vmat{ f (x, y) - f (0,0)}[/mm] = [mm]\vmat{\bruch{xy}{x^{2} + y^{2}} }[/mm]
> = [mm]\vmat{ x} \cdot{} \vmat{\bruch{y}{{x^{2} + y^{2}}} } \le \vmat{ x} \le \wurzel{x^{2} + y^{2}} \le \delta[/mm]
> = [mm]\varepsilon[/mm] $
> ??? Da stimmt ja irgendwas offensichtlich nicht. Ich weiß
> aber eben nicht so richtig, was..
Was nicht stimmt ist, dass, unter der Voraussetzung [mm] $x^2+y^2\neq [/mm] 0$, stets [mm] $\left|\frac{y}{x^2+y^2}\right|\leq [/mm] 1$ ist. Was aber unter dieser Voraussetzung stets gilt ist, dass [mm] $\left|\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\leq [/mm] 1$.
> > Und bei Nummer c muss ich ja wiederum
> > überprüfen, ob die Fkt im Nulllpunkt stetig ist, oder?
>
> >Hmm. Diese Funktion ist aber, im Unterschied zu den
> Funktionen von >Teilaufgaben a) und b), nicht nur im
> Ursprung unstetig sondern auch in >jedem Punkt der x- bzw.
> der y-Achse...
>
> Wie sehe ich das direkt?
>
> >Wie gehe ich da jetzt am besten vor? Mit
> > Epsilon-Delta-Kriterium oder Folgendefinition?
>
> >Es ist klar, dass diese Funktion beliebig nahe bei $
> [mm](x_0,0)[/mm] $ bzw. $
> > [mm](0,y_0)[/mm] $ sowohl den Wert 1 als auch den Wert 0 annimmt
> (denn es gibt >beliebig nahe bei $ [mm](x_0,0)[/mm] $ bzw. $ [mm](0,y_0)[/mm]
> $ Punkte (x,y), die wahlweise >xy=0 oder $ [mm]xy\neq[/mm] 0 $
> erfüllen).
> >Du kannst die Unstetigkeit dieser Funktion an den Stellen
> [mm](x_0,0)[/mm] bzw. >[mm] (0,y_0)[/mm] auf beiden Wegen, durch Widerlegung
> der Erfüllbarkeit der [mm]>\varepsilon [/mm]-[mm] \delta [/mm]-Bedingung in
> einem Punkt der Form [mm](x_0,0)[/mm] >bzw. [mm](0,y_0)[/mm] oder durch
> Nachweis einer nicht gegen [mm]f(x_0,0)[/mm] bzw. >[mm] f(0,y_0)[/mm]
> konvergenten Testfolge, vergleichsweise leicht zeigen.
>
> Also Moment, xy = 0 nur dann wenn eben x oder y = 0 ist,
> richtig? 'Du meinst ich kann mir eine Folge konstruieren,
> deren Grenzwert eben Null ist, deren Bildfolge aber nicht
> mit dem Funktionswert übereinstimmt ? Bzw. dasselbe mit 1 ?
> Oder was meinst du mit Punkten, die eben wahlweise xy = 0
> bzw. xy= 1 erfüllen? Versteh ich grad nicht. Hmm...
Um die Sache konkreter zu machen: Nimm also einen Punkt der $x$-Achse, d.h. den Punkt [mm] $(x_0,0)$, [/mm] wobei ich [mm] $x_0\neq [/mm] 0$ annehme (andernfalls muss man die untenstehende Testfolge etwas anders wählen...). Ich behaupte: in jeder noch so kleinen Umgebung dieses Punktes gibt es immer sowohl Punkte $(x,y)$ mit $xy=0$ als auch Punkte mit $xy=1$ und daher Punkte mit $f(x,y)=0$ bzw. $f(x,y)=1$. Da also $f$ in jeder noch so kleinen Umgebung von [mm] $(x_0,0)$ [/mm] Werte annimmt, die einen Abstand $1$ von [mm] $f(x_0,0)=0$ [/mm] voneinander haben, kann man immer eine Testfolge finden, die zwar gegen [mm] $(x_0,0)$ [/mm] konvergiert, deren zugehörige Bilder unter $f$ aber konstant $1$ sind, also jedenfalls sicher nicht gegen [mm] $f(x_0,0)=0$ [/mm] konvergieren: etwa die Folge [mm] $\big(x_0,\tfrac{1}{n}\big)$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Du sagtest: "Wähle einen Punkt auf der x-Ache, d.h. [mm] (x_{0}, [/mm] 0), wobei eben [mm] x_{0} \not= [/mm] 0 angenommen werden soll"
Wie kann sich denn in der Umgebung dieses Punktes auf der x-Achse ein Punkt befinden mit xy = 1 ? Denn xy =1 impliziert doch x ungleich Null und y ungleich Null oder etwa nicht? Und das ist doch auf der x-Achse eben nicht möglich?? Und auf der y-Achse bzw. im Ursprung eben auch nicht....
Gelten die normalen Multipllikationsregeln hier nicht? Also kann ich eben nicht sagen: xy = 0 genau dann, wenn x oder y gleich Null ist? Das war auch eben schon meine Frage und das ist auch das Einzige was mir nicht klar ist. Alles andere wäre dann logisch.....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 03.11.2007 | | Autor: | BieneJulia |
oh nein. ich hab nur an "rechts" und "links" gedacht - wie blöd von mir.
Umgebungen im Sinne von Epsilon-kugeln, also auch "unten" und "oben" mit betrachten....
ja dann ist jetzt alles klar, echt dumm ... :)
danke..
|
|
|
| |
|
> Du sagtest: "Wähle einen Punkt auf der x-Ache, d.h. [mm](x_{0},[/mm]
> 0), wobei eben [mm]x_{0} \not=[/mm] 0 angenommen werden soll"
>
> Wie kann sich denn in der Umgebung dieses Punktes auf der
> x-Achse ein Punkt befinden mit xy = 1 ? Denn xy =1
> impliziert doch x ungleich Null und y ungleich Null oder
> etwa nicht? Und das ist doch auf der x-Achse eben nicht
> möglich?? Und auf der y-Achse bzw. im Ursprung eben auch
> nicht....
> Gelten die normalen Multipllikationsregeln hier nicht?
> Also kann ich eben nicht sagen: xy = 0 genau dann, wenn x
> oder y gleich Null ist? Das war auch eben schon meine
> Frage und das ist auch das Einzige was mir nicht klar ist.
> Alles andere wäre dann logisch.....
Wie Du inzwischen selbst bemerkt hast, kann man sich nicht auf die $x$-Achse beschränken: denn in diesem Falle wäre die so eingeschränkte Funktion konstant 0 und daher trivialerweise stetig...
Mein Beispiel (unter der Annahme [mm] $x_0\neq [/mm] 0$) war ja auch entsprechend konstruiert: als eine Folge [mm] $\big(x_0,\tfrac{1}{n}\big)$, [/mm] die sich von oben dem auf der $x$-Achse liegenden Punkt [mm] $(x_0,0)$ [/mm] nähert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Sa 03.11.2007 | | Autor: | BieneJulia |
hey ! ja ich stand auf dem schlauch, sorry!
danke nochmal!
lg und ein schönes restwochenende
Julia
|
|
|
|
