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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass durch die folgende Vorschrift eine Funktion definiert wird:
${f}:[-1,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] ${f(x)}:=\summe_{n=1}^{\infty}(x^n/n^2)$
[/mm]
b) Untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit im Punkt [mm] $x_0 [/mm] = 0$ |
Hallo,
ich weiß bei dieser Aufgabe leider nicht, was ich alles zeigen muss.
Geht es hierbei nur um die Stetigkeit oder muss ich noch anders zeigen, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht? Muss ich zum Beispiel die Konvergenz noch zeigen (falls vorhanden) ?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
Mija
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Zeigen Sie, dass durch die folgende Vorschrift eine
> Funktion definiert wird:
>
> [mm]{f}:[-1,1] \to \IR[/mm] mit
> [mm]{f(x)}:=\summe_{n=1}^{\infty}(x^n/n^2)[/mm]
>
> b) Untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit im Punkt
> [mm]x_0 = 0[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß bei dieser Aufgabe leider nicht, was ich alles
> zeigen muss.
> Geht es hierbei nur um die Stetigkeit oder muss ich noch
> anders zeigen, ob es sich um eine Funktion handelt oder
> nicht? Muss ich zum Beispiel die Konvergenz noch zeigen
> (falls vorhanden) ?
Du musst bei a) zunächst zeigen, dass die Reihe in jedem Punkt $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ auch konvergiert (da wird ja auch behauptet, dass die Reihe für jeden Punkt $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert!).
Wenn bekannt ist, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ [/mm] konvergiert, ist das schnell abgetan.
Zu b):
Offenbar ist $f(0)=0$. Ferner gilt (für $x [mm] \in [/mm] (-1,1)$):
$$|f(x)| [mm] \le \sum_{n=1}^\infty |x|^n*\underbrace{1/n^2}_{ \le 1} \underbrace{\le}_{geom.\;\; Reihe} \frac{|x|}{1-|x|}\,.$$
[/mm]
(Beachte, dass die Reihe linkerhand bei $n=1$ startet und nicht bei $n=0$.)
Was passiert bei $x [mm] \to [/mm] 0$?
Gruß,
Marcel
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