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| Aufgabe | | Die Funktion [mm] f:\IR+ [/mm] := [mm] \{x \in \IR: x > 0 \} \mapsto \IR [/mm] sei gegeben durch [mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ \bruch{1}{p+q}, & \mbox{für } x= \bruch{p}{q}, \mbox{ wobei p,q} \in \IN \mbox{ teilerfremd} \end{cases}. [/mm] Man bestimme alle Punkte x [mm] \in \IR+, [/mm] in denen f stetig ist. |
Wenn ich eine "normale" Funktion habe, kann ich mir vorstellen, die Stetigkeit mit dem RSG und dem LSG zu berechnen bzw zu zeigen. Aber wie kann man das mit solchen Funktionen anstellen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab keine Ahnung , was RSG und LSG sind deshalb kann ich dazu nix sagen.
Aber nimm doch mal irgendeinen rationalen Pkt x=p/q , [mm] p\ne0 [/mm] und versuch eine [mm] \delta [/mm] Umgebung zu finden, so dass |f(x)-f(x1)|<0,01*1/(p+q) ist wenn [mm] |x-x1|<\delta.
[/mm]
Gruss leduart
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Ich vermute mal: RSG = rechtsseitiger Grenzwert.
Kann mir nicht vorstellen, dass die Funktion außer in der Null (nicht im Def.bereich) irgendwo in einem rationalen Punkt stetig ist. Das Problem ist, dass für eine Folge, die gegen einen bestimmten rationalen Wert konvergiert, die Folge der Funktionswerte immer gegen Null geht und nicht gegen den Funktionswert. Für die irrationalen sieht es aber besser aus (gleiches Argument).
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Aloha.
Das Problem ist, dass ich zwar weisz, was Stetigkeit bedeutet, jedoch wenn es um die Anwendung geht, einfach nicht weiz, wie ich vorgehen muss.
Jetzt war die von mir gestellte Aufgabe eine sehr merkwuerdige Funktion. Aber wenn ich mir die Funktion f(x)= [mm] x^{2} [/mm] vorstelle, ist mir klar, dass sie stetig ist. Wie ich das aber mit dem [mm] \delta [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] -Kriterium zeige, ist mir unklar. Dh, ichm uss irgendwie versuchen, zu lernen, wie man imk Bereich der Stetigkeit rechnet...
Trotzdem, vielen Dank!
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Wie bereits oben vermerkt, würde ich an deiner Stelle mit dem Folgenkriterium arbeiten, das ausnutzt, dass in [mm]\IR[/mm] aus Folgenstetigkeit schon Stetigkeit folgt (ein Satz aus der Topologie). Du musst also beliebige Folgen betrachten, die gegen einen beliebigen rationalen bzw. irrationalen Wert konvergieren und dir dann anschauen, was die Folge der Funktionswerte macht. Was dabei herauskommt, habe ich ja schon oben erwähnt.
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