Stetigkeit von Fkt. aus R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen sie, ob die Funktion f stetig auf ganz [mm]\IR^2[/mm] fortgesetzt werden kann.
[mm]f : \IR^2 \backslash \vektor{0 \\ 0} \to \IR[/mm]
[mm]f(x,y) = (x*y)^2 / \wurzel{x^2 + y^2}[/mm]
|
Hallo,
ich komme so garnicht recht klar mit der Stetigkeit von Funktionen mit mehrdimensionalem Argument. Ich weiß nicht, wie ich herausfinden soll, ob und wenn ja, gegen welchen Wert f an der Stelle (0,0) konvergiert. Ich glaube, mein Problem ist, dass man sich der Stelle ja aus allen Richtungen nähern kann und ich nicht weiß, wie ich das untersuchen soll.
Könnte mir jemand evtl. zeigen, wie ich vorgehen muss?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Untersuchen sie, ob die Funktion f stetig auf ganz [mm]\IR^2[/mm]
> fortgesetzt werden kann.
>
> [mm]f : \IR^2 \backslash \vektor{0 \\ 0} \to \IR[/mm]
>
> [mm]f(x,y) = (x*y)^2 / \wurzel{x^2 + y^2}[/mm]
>
>
>
> Hallo,
> ich komme so garnicht recht klar mit der Stetigkeit von
> Funktionen mit mehrdimensionalem Argument. Ich weiß nicht,
> wie ich herausfinden soll, ob und wenn ja, gegen welchen
> Wert f an der Stelle (0,0) konvergiert. Ich glaube, mein
> Problem ist, dass man sich der Stelle ja aus allen
> Richtungen nähern kann und ich nicht weiß, wie ich das
> untersuchen soll.
Hallo,>
> Könnte mir jemand evtl. zeigen, wie ich vorgehen muss?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mit "aus allen Richtungen" triffst Du einen wesentlichen Punkt.
Schreibe (x,y) in Polarkoordinaten, (r*cos [mm] \varphi, [/mm] r [mm] sin\varphi).
[/mm]
Dann läßt Du r gegen 0 gehen und schaust, ob das Ergebnis von [mm] \varphi, [/mm] also der Richtung, abhängt oder nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Also soll ich in der Funktion x und y mit den Polarkoordinaten ersetzen? Das hab ich mal gemacht, komme aber auf keinen grünen Zweig. "Das Ergebnis hängt nicht von Phi ab" heißt doch, dass kein Phi mehr im Term auftreten darf, oder? Das kriege ich mit meinen Umformungskünsten nicht so recht hin.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also soll ich in der Funktion x und y mit den
> Polarkoordinaten ersetzen? Das hab ich mal gemacht, komme
> aber auf keinen grünen Zweig. "Das Ergebnis hängt nicht von
> Phi ab" heißt doch, dass kein Phi mehr im Term auftreten
> darf, oder? Das kriege ich mit meinen Umformungskünsten
> nicht so recht hin.
Es ist nicht "das Ergebnis", das nicht von [mm] $\varphi$ [/mm] abhängen darf, sondern der Grenzwert für [mm] $r\downarrow [/mm] 0$ des umgeformten Ausdrucks.
Wenn dieser LIMES unabhängig von [mm] $\varphi$, [/mm] dh. egal welches [mm] $\varphi$ [/mm] du da auch einsetzt, für [mm] $r\downarrow$ [/mm] existiert und stets gegen denselben Wert konvergiert, so kannst du [mm] $f(0,0):=\text{diesen Wert}$ [/mm] festlegen und das Ding stetig machen
Schreibe am besten mal dein umgeformtes Biest auf, dann sehen wir das konkret ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Meine Formel ist erstmal nach ein bisschen Umgeforme:
[mm]r^3*(sin \alpha)^2 * cos \alpha / \wurzel{1 + (tan \alpha)^2}[/mm]
Ich seh aber nicht, wie ich weiter machen soll, und das ist ja bisher alles andere als unabhängig von alpha.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh nicht wie du auf die Formel kommst? im Nenner steht doch einfach r? (sin^2a+cos^2a+1 vielleicht hast du das nicht verwendet?)
eigentlich muss man nichts umformen, um zu sehen was fuer rgegen 0 unabhaengig vom Winkel pasiert.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Oh, du hast Recht, an die Formel hab ich nicht gedacht. Dann kann ich das r im Nenner aber auch kürzen und dann bleibt nur [mm]r*cos \alpha * sin \alpha [/mm] übrig. Für [mm] r \to 0 [/mm] ist das ja wohl Null. Ist das mein Grenzwert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da bleibt [mm] r^3 [/mm] stehen, nicht r. und der GW ist unabhaengig von [mm] \alpha [/mm] 0 wenn r gegen 0 geht, da ja sin*cos hoechstens zwischen -1 und =1 liegen koennen.
D.h. du kannst deine fkt in 0 durch f(0,0)=0 stetig ergaenzen.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
Ja, du hast Recht. Vielen Dank! Das mit Polarkoordinaten zu machen, daran hat bei uns nie einer gedacht. Wie würde denn ein "klassischer" Stetigkeitsnachweis unter Nutzung der Stetigkeitsdefinition mit [mm] \varepsilon [/mm] aussehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
genauer aufgeschrieben, also nicht einfach r gegen 0 heisst das: zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert eine [mm] \delta [/mm] Umgebung von 0 mit [mm] \sqrt{x^2+y^2}< \delta [/mm] so dass |f(x,y)|< [mm] \epsilon [/mm]
waehle etwa [mm] \delta [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\epsilon}
[/mm]
sonst waehle y=a*x und zeige, dass es dann deine delta eps. gilt fuer alle a aus R.
Das mit den polarkoo. ist aber das ueblichste Verfahren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Wie würde ich das mit den Polarkoordinaten denn machen, wenn ein anderer Punkt als (0,0) untersucht werden soll?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(x,y) bei x1,y1 untersuchen.
[mm] x-x1=rcos\phi
[/mm]
[mm] y-y1=rsin\phi
[/mm]
oder [mm] x=x1+rcos\phi [/mm] y=..
also immer Kreisgebiete um den fraglichen Punkt , wegen
[mm] (x-x1)^2+y-y1)^2=r^2 [/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
>
> Mit "aus allen Richtungen" triffst Du einen wesentlichen
> Punkt.
>
> Schreibe (x,y) in Polarkoordinaten, [mm](r*sin\varphi,[/mm] r [mm]cos\varphi).[/mm]
Hier hast du x und y vertauscht, setze [mm] $(x,y)=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))$ [/mm] ...
>
> Dann läßt Du r gegen 0 gehen und schaust, ob das Ergebnis
> von [mm]\varphi,[/mm] also der Richtung, abhängt oder nicht.
>
> Gruß v. Angela
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Hier hast du x und y vertauscht,
Hallo,
danke. Ich hab#s unverzüglich enttauscht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
es lohnt sich immer mal, die Suchfunktion des Forums zu bemühen, siehe hier.
Das erspart doppelte Arbeit ...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
