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| Aufgabe | Seien X ein normierter Vekotrraum und T: X [mm] \to \IR [/mm] eine lineare Abbildung. Die Abbildung T heißt beschränkt, falls eine Konstante C [mm] \ge [/mm] 0 existiert mit |T(x)| [mm] \le [/mm] C||x|| für alle x [mm] \in [/mm] X.
Man zeige, dass T genau dann stetig ist, wenn T beschränkt ist. (Tipp: Beide Eigenschaften sind äquivalent zur Stetigkeit von T an der Stelle 0 [mm] \in [/mm] X.) |
Hallo habe mir Gedanken gemacht und zwar folgende:
Erst mal die eine Richtung:
Wenn T stetig ist, dann existiert der links- und rechtsseitige Grenzwert, d.h. T ist integrierbar.
Nun habe ich abgeschätzt:
[mm] |\integral{T(x) dx}| \le \integral|{T(x) dx}| \le ||f||_\infty*(b-a)
[/mm]
Ich habe halt statt C die Supremumsnorm gewählt und statt ||x|| (b-a)
damit habe ich jetzt gezeigt, dass es beschränkt ist.
Jetzt noch die andere Richtung:
Sei T beschränkt, d.h. es existiert ein C [mm] \ge [/mm] 0 so dass für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: |T(x)| [mm] \le [/mm] C. Sei wieder C meine Supremumsnorm. Diese kann ich allerdings nur auf kompakten Intervallen definieren. Daraus kann ich folgern, dass T stetig sein muss, denn es gilt ja die Beziehung [mm] C(K;\IR) \subset B(K;\IR) [/mm] (K ist kompaktes Intervall)
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich den Tipp in der Aufgabenstellung gar nicht benutzt habe. Wie ist denn mein Ansatz. Hat er etwas Richtiges oder ist alles falsch?
Gruß Waldemar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien X ein normierter Vekotrraum und T: X [mm]\to \IR[/mm] eine
> lineare Abbildung. Die Abbildung T heißt beschränkt, falls
> eine Konstante C [mm]\ge[/mm] 0 existiert mit |T(x)| [mm]\le[/mm] C||x|| für
> alle x [mm]\in[/mm] X.
> Man zeige, dass T genau dann stetig ist, wenn T beschränkt
> ist. (Tipp: Beide Eigenschaften sind äquivalent zur
> Stetigkeit von T an der Stelle 0 [mm]\in[/mm] X.)
> Hallo habe mir Gedanken gemacht und zwar folgende:
> Erst mal die eine Richtung:
> Wenn T stetig ist, dann existiert der links- und
> rechtsseitige Grenzwert, d.h. T ist integrierbar.
Was machst Du eigentlich ???? X ist ein abstrakter normierter Raum , dort sind links- und rechtsseitige Grenzwerte völlig sinnlos !! Und was soll das: "T ist integrierbar." ?????????????????
>
> Nun habe ich abgeschätzt:
>
> [mm]|\integral{T(x) dx}| \le \integral|{T(x) dx}| \le ||f||_\infty*(b-a)[/mm]
>
> Ich habe halt statt C die Supremumsnorm gewählt und statt
> ||x|| (b-a)
>
> damit habe ich jetzt gezeigt, dass es beschränkt ist.
>
> Jetzt noch die andere Richtung:
>
> Sei T beschränkt, d.h. es existiert ein C [mm]\ge[/mm] 0 so dass für
> alle x [mm]\in[/mm] X gilt: |T(x)| [mm]\le[/mm] C. Sei wieder C meine
> Supremumsnorm. Diese kann ich allerdings nur auf kompakten
> Intervallen definieren. Daraus kann ich folgern, dass T
> stetig sein muss, denn es gilt ja die Beziehung [mm]C(K;\IR) \subset B(K;\IR)[/mm]
> (K ist kompaktes Intervall)
>
>
> Mir ist gerade aufgefallen, dass ich den Tipp in der
> Aufgabenstellung gar nicht benutzt habe. Wie ist denn mein
> Ansatz.
völliger Unsinn
Hat er etwas Richtiges oder ist alles falsch?
Alles falsch
>
> Gruß Waldemar
1. Sei T stetig. Annahme , T ist nicht beschränkt. Dann gibt es also kein C [mm] \ge [/mm] 0 mit ||Tx|| [mm] \le [/mm] C||x|| für alle x in X.
Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es dann ein [mm] x_n \in [/mm] X mit [mm] ||Tx_n|| [/mm] > [mm] n||x_n||
[/mm]
Setze [mm] z_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\bruch{x_n}{||x_n||}. [/mm] Dann ist [mm] (z_n) [/mm] eine Nullfolge in X und da T steig in 0 ist folgt: [mm] (Tz_n) [/mm] konvergiert gegen 0
Aber: [mm] ||Tz_n|| [/mm] = [mm] \bruch{1}{n||x_n||}||Tx_n|| [/mm] > 1, Widerspruch.
2. Sei T beschränkt. Also existiert ein C [mm] \ge [/mm] 0 mit: ||Tx|| [mm] \le [/mm] C||x|| für jedes x in X.
Für u,v [mm] \in [/mm] X gilt dann: ||Tu-Tv|| = ||T(u-v)|| [mm] \le [/mm] C||u-v||
T ist also stetig.
FRED
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> Aber: [mm]||Tz_n||[/mm] = [mm]\bruch{1}{n||x_n||}||Tx_n||[/mm] > 1,
> Widerspruch.
Ich verstehe diesen Schritt nicht so ganz. Wäre es möglich, dass du diesen Schritt kurz eräutern könntest?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Einerseits konvergiert [mm] (Tz_n [/mm] ) gegen 0 und andererseits ist [mm] ||Tz_n|| [/mm] > 1 für jedes n.
Das passt nicht zusammen.
FRED
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