Stetigkeit überprüfen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion [mm] $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ [/mm] sei definiert durch
[mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 1-x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}$
[/mm]
In welchen Punkten ist $f$ stetig? |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe Probleme einen Ansatz zu finden. Ich würde zunächst behaupten, dass $f$ in allen irrationalen Punkten stetig ist. Und der erste Teil der Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] x$ ist doch die Identität.
Sei also $a$ eine irrationale Zahl. Ich muss zeigen, dass [mm] $|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon$. [/mm] Allerdings finde ich keinen guten Ansatz. Kann mir jemand helfen, wie ich hier vorgehen muss.
Grüße
|
|
| |
|
Du weißt sicher, dass die rationalen Zahlen "dicht" in den reellen liegen, d.h.: In jedem beliebigen Intervall mit der Intervallänge>0 liegen, neben unendlich vielen irrationalen, auch unendlich viele rationale Zahlen. Das bedeutet aber:
Für jedes solche Intervall findest du sowohl Funktionswerte x als auch 1-x. Beispiel: Wenn x=3 ist, ist f(x)=x=3. Gehst du nun auf den irrationalen Wert [mm] 3+\delta [/mm] (mit [mm] \delta [/mm] > 0), so ist [mm] f(x)=1-(3+\delta)=-2-\delta, [/mm] der Unterschied zwischen beiden Werten also immer größer als [mm] \epsilon=1.
[/mm]
Das gilt (fast) überall ähnlich, also ist die Fkt. (fast) überall unstetig. Das kannst du zeigen, indem du [mm] \epsilon [/mm] = |x-0,5| wählst.
Aber es gibt eine Ausnahme: Da, wo x=1-x ist, also bei x = 0,5. Wenn du da [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon/2 [/mm] wählst, kannst du die Stetigkeit dort zeigen.
|
|
|
|
