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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Fr 13.05.2011 | | Autor: | lloolla |
Hallo Leute,
Ich hab da eine kleine Frage ich möchte zeigen das:
[mm] \sigma_N :=\begin{cases}
\frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{2\sin(\frac{t}{2})} \,\,\,\,&\text{für } t\neq 2\pi k \\
N+\frac{1}{2}, & \text{für } t=2\pi k
\end{cases}
[/mm]
[mm] \qquad k\in \mathbb{Z}.
[/mm]
stetig ist.
Naja der Sinus ist stetig also ist doch auch der Buch zweier stetiger funktionen stetig, aufgepasst muss nur bei den nullstellen oder?
in meinem schlauen buch sagen sie es gilt nach der l´hospitalschen regel.
ich weiß nicht was ich daraus gewinne.
Wenn [mm] sin(N+\frac{1}{2}t)= [/mm] f(t) ist und g(t)= n+1/2
dann kann ich natürlich die Ableitung machen, die dann für beide verschwindet. aber was sagt mir das dann.
über eine antwort würde ich mich freuen. vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
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> Ich hab da eine kleine Frage ich möchte zeigen das:
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> [mm]\sigma_N :=\begin{cases}
\frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{2\sin(\frac{t}{2})} \,\,\,\,&\text{für } t\neq 2\pi k \\
N+\frac{1}{2}, & \text{für } t=2\pi k
\end{cases}[/mm]
>
> [mm]\qquad k\in \mathbb{Z}.[/mm]
>
> stetig ist.
>
> Naja der Sinus ist stetig also ist doch auch der Buch
> zweier stetiger funktionen stetig, aufgepasst muss nur bei
> den nullstellen oder?
>
> in meinem schlauen buch sagen sie es gilt nach der
> l´hospitalschen regel.
> ich weiß nicht was ich daraus gewinne.
Das: [mm] \sigma_N [/mm] ist genau dann stetig in t=2k [mm] \pi [/mm] , wenn
[mm] \limes_{t\rightarrow 2k \pi} \frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{2\sin(\frac{t}{2})}=N+1/2$
[/mm]
ist. Und das kannst Du mit L'Hospital prima zeigen.
>
> Wenn [mm]sin(N+\frac{1}{2}t)=[/mm] f(t) ist und g(t)= n+1/2
Wie kommst Du auf dieses g ? Nimm $g(t)= 2 sin(t/2)$ und schau Dir L'Hospital nochmal an !!
FRED
>
>
> dann kann ich natürlich die Ableitung machen, die dann
> für beide verschwindet. aber was sagt mir das dann.
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> über eine antwort würde ich mich freuen. vielen dank
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Fr 13.05.2011 | | Autor: | lloolla |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!! ich glaub ich mach aber noch was falsch bei meiner rechnung
[mm]\limes_{t\rightarrow 2k \pi} \frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{2\sin(\frac{t}{2})}=N+1/2$[/mm]
es sollte ja noch l´hospital gelten:
[mm] \limes_{t\rightarrow 2k \pi} \frac{f(t)}{g(t)} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 2k \pi} \frac{f'(t)}{g'(t)}
[/mm]
es gilt doch f'(t)= [mm] \sin(N+\frac{1}{2})
[/mm]
und g'(t)= [mm] \cos(\frac{t}{2})
[/mm]
habe ich schon falsch abgeleitet??
naja und jetzt weiter?? wenn jetzt t [mm] \to [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] k läuft dann osziliert doch [mm] cos(\pi [/mm] k) zwischen 1 und -1 und oben passiert nix.
sollte ich vielleich l´hospital erneut anwenden dann erhalte ich f''(t)=0 und g''(t)= [mm] -\frac{\sin\frac{t}{2}}{2}
[/mm]
und damit lim [mm] -\frac{2}{sin \frac{t}{2}} [/mm] = [mm] \frac{2}{sin \pi k}
[/mm]
was ja auch nich wirklich scchön ist. könntest du mir vielleicht meine fehler sagen?
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Hallo lloolla,
ja, da ist noch was falsch.
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort!! ich glaub ich
> mach aber noch was falsch bei meiner rechnung
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 2k \pi} \frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{2\sin(\frac{t}{2})}=N+1/2$[/mm]
Schauen wir erstmal, was da passiert. Im Zähler gehört das t wohl noch zum Argument des Sinus, sonst macht die Aufgabe keinen Sinn. Außerdem wird man annehmen müssen, dass N ganzzahlig ist (die Benennung lässt sogar auf [mm] n\in\IN [/mm] schließen).
Wenn dann [mm] t=2k\pi [/mm] wäre, dann stünde im Zähler [mm] \sin{(2Nk\pi+k\pi}, [/mm] und das ist unter obigen Voraussetzungen Null.
Ebenso im Nenner, wo sich dann [mm] 2\sin{(k\pi)} [/mm] ergäbe.
Damit sind die Voraussetzung für die Anwendung von l'Hospital erfüllt.
> es sollte ja noch l´hospital gelten:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 2k \pi} \frac{f(t)}{g(t)}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 2k \pi} \frac{f'(t)}{g'(t)}[/mm]
>
> es gilt doch f'(t)= [mm]\sin(N+\frac{1}{2})[/mm]
Nee, nix da. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie oben schon gesagt: t gehört noch ins Argument, da steht also (mit ein bisschen mehr Klammern):
[mm] f(t)=\sin{\left(\left(N+\bruch{1}{2}\right)*t\right)}
[/mm]
Was ist also $ f'(t) $?
> und g'(t)= [mm]\cos(\frac{t}{2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> habe ich schon falsch abgeleitet??
Ja, siehe oben.
> naja und jetzt weiter?? wenn jetzt t [mm]\to[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] k läuft
> dann osziliert doch [mm]cos(\pi[/mm] k) zwischen 1 und -1 und oben
> passiert nix.
>
> sollte ich vielleich l´hospital erneut anwenden dann
> erhalte ich f''(t)=0 und g''(t)=
> [mm]-\frac{\sin\frac{t}{2}}{2}[/mm]
>
> und damit lim [mm]-\frac{2}{sin \frac{t}{2}}[/mm] = [mm]\frac{2}{sin \pi k}[/mm]
Wann darf man l'Hospital anwenden? Jedenfalls nicht aufs Geratewohl immer dann, wenn man sonst gerade nicht weiterkommt... 
> was ja auch nich wirklich scchön ist. könntest du mir
> vielleicht meine fehler sagen?
Grüße
reverend
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