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| Aufgabe | | Ist f(x)=x*sin(x) glm. stetig auf [mm] \IR? [/mm] |
Hallo,
f(x)=x*sin(x), und ich soll nach glm. Stetigkeit auf ganz [mm] \IR [/mm] untersuchen, wie zeige ich denn am einfachsten, dass das nicht so ist?
Da die Funktion gegen [mm] \infty [/mm] so sehr wächst, sagt mir mein Bauch nicht glm stetig.
Sei [mm] \epsilon>0, [/mm] x,y [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|x*sin(x)-y*sin(y)|\le|x*sin(x)|+|y*sin(y)|=|x|*|sin(x)|+|y|*|sin(y)|\le|x|+|y|. [/mm] Das hilft mir absolut gar nicht weiter...
|f(x)-f(y)|=|x*sin(x)-y*sin(y)|>??? ja wie schätze ich da am bessten ab? Oder geht das über Folgen [mm] x_j [/mm] und [mm] z_j [/mm] besser?
Gibt es für Folgen ein Tipp, wann man wie die Folgen setzten muss?
Danke schonmal im Voraus!
lg Kai
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Wenn iwas nicht eindeutig geschrieben ist, dann einfach eine Mitteilung schreiben.
Eine Antwort ist mir wichtig, ich schreibe übermorgen Klausur, und hab echt keine Idee mit den Folgen...
lg Kai
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| Aufgabe | | Untersuchen die [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] auf gleichmäßige Stetigkeit in (0,1)! |
Ich hab zum gleichen Thema noch eine ähnliche Frage:
Da ja [mm] g(x)=\bruch{1}{x} [/mm] nicht glm. stetig ist in (0,1), und [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] nur noch schneller steigt, wenn x [mm] \to [/mm] 0, nehme ich an, dass sie auch nicht glm. stetig ist:
Sei [mm] \epsilon=1
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|\ge1 \gdw |\bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{y^2}|\ge1 \gdw |\bruch{y^2-x^2}{x^2y^2}|\ge1 \gdw |x-y|*\bruch{|x+y|}{x^2y^2}\ge1
[/mm]
Ich suche also x und y, sodass die obige Ungleichung erfüllt ist, aber |x-y| bel. klein wird.
Wie finde ich denn nun ein x und y?
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu [mm] 1/x^2 [/mm] wie waers mit x=1/n, y=1/(n+1)
zu xsinx
wie waers mit [mm] y_n=n*\pi \qquad x_n=n*\pi+\delta
[/mm]
siny=0 [mm] sinx>\delta/2
[/mm]
habt ihr nicht den beweis gemacht, wenn die Ableitung beliebig gross wird keine glm. St.?
gruss leduart
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Danke erstmal!
Das hilft mir unheimlich weiter!
Aber wie kommt man bloß auf das? Muss das durch bloßes Hinschauen "klick" machen?
Ich hatte noch keinen Satz über die Beschränktheit der Ableitung. Ich habe, als ich das Archiev hier durchsucht habe, nach Themen zur Stetigkeit, gesehen, dass als die Ableitung beschränkt war, schön über den Mittelwertsatz Lipschitzstetigkeit gezeigt wurde. Aber das hatte ich noch nicht...
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei gegen 0 probiert man halt immer was mit 1/n oder [mm] 1/n^2 [/mm] oder so.
Wenn ihr den Mittelwertsatz nicht hattet, dann musst du ohne die Ableitung arbeiten.
Gruss leduart
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Ich hatte den Mittelwertsatz, aber nicht, dass bei beschränkten Ableitungen Lipschitzstetigkeit folgt...
Angenommen ich betrachte [mm] f'(x)=\bruch{-2}{x^3} [/mm] auf (0,1), die ist ja nicht beschränkt...
Angenommen x*sin(x) auf (0,1). Dann habe ich f'(x)=sin(x)+x*(cos(x)). Hier könnte ich doch argumentieren: [mm] \limes_{n\rightarrow0}f'(x)=0, \limes_{n\rightarrow1}f'(x)=sin(1)+cos(1), [/mm] also ist f'(x) beschränkt (|f'(x)|<c) (auf (0,1))
[mm] \Rightarrow \exists \gamma, x<\gamma
Andererseits auf ganz [mm] \IR: [/mm] f'(x)=sin(x)+x*(cos(x)) unbeschränkt, und damit auch nicht gleichmäßig stetig?
Geht in diesem Fall der Umkehrschluss?
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist doch [mm] f'(\xi) [/mm] beliebig gross und damit auch >jedes beliebige C.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 So 22.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Ist f(x)=x*sin(x) glm. stetig auf [mm]\IR?[/mm]
> Hallo,
>
> f(x)=x*sin(x), und ich soll nach glm. Stetigkeit auf ganz
> [mm]\IR[/mm] untersuchen, wie zeige ich denn am einfachsten, dass
> das nicht so ist?
>
Du willst zeigen, daß sie nicht glm. stetig ist, also suchst Du Dir ein worst case Szenario.
sin hat die stärkste Steigung um [mm] $2k\pi$ [/mm] rum, also betrachten wir mal
[mm] $x_k=2k\pi+\phi$ [/mm] und [mm] $y_k=2k\pi-\phi$
[/mm]
Um [mm] $2k\pi$ [/mm] (natürlich [mm] $2k\pi$, [/mm] dort wollen wir ihn ja für unsere [mm] $x_k$ [/mm] und [mm] $y_k$) [/mm] rum verhält sich der Sinus wie eine Gerade mit Steigung 1, also sind wir auf der sicheren Seite, wenn wir in der Abschätzung [mm] $\sin(x)=\frac12\phi$ [/mm] und [mm] $\sin(y)=-\frac12\phi$ [/mm] setzen.
> Gibt es für Folgen ein Tipp, wann man wie die Folgen
> setzten muss?
Bei Funktion mit periodischem Anteil ist eine Folge meist hilfreich.
Du schaust Dir die Funktion an. Salopp gesagt willst Du zeigen, daß das Teil keine maximale Steigung (der intuitive Begriff, nicht die Ableitung; machst meist aber keinen Unterschied*) besitzt, also suchst Du Dir eine Folge von Punkten, so daß die Steigung der Funktion an diesen gegen unendlich geht.
ciao
Stefan
*: Wo es einen macht ist, wenn die Funtion auf beschränktem Raum rumeiert. Beispiel: [mm] $\sqrt{x},\ x\in\IR_+$. [/mm] Das ist gleichmäßig stetig.
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> Um [mm]k\pi[/mm] rum verhält sich der Sinus wie eine Gerade mit
> Steigung 1, also sind wir auf der sicheren Seite, wenn wir
> in der Abschätzung [mm]\sin(x)=\frac12\phi[/mm] und
> [mm]\sin(y)=-\frac12\phi[/mm] setzen.
Hier komme ich nicht mehr mit. Bei [mm] 2k\pi [/mm] hat der Sinus den Anstieg 1, oder nicht, und bei [mm] \pi+2k\pi [/mm] den Anstieg -1.
Warum kann ich den Sinus so setzten?
lg Kai
Danke schonmal, hat mir sehr geholfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab fuer [mm] y_n [/mm] Nullstellen vom sin genommen. dann hab ich das y los!
Dann fuer x nahe an y hat der sin nen festen Wert, x wird beliebig gross, also auch x*sinx.
so klarer?
bie per. fkt immer durch folgen irgendwie die Periode ausnutzen, die Nullstellen ,die max oder die Min.
anschaulich hast du ja schon gesehen dass xsinx beliebig gross wird, allerdings auch immer wieder Nullstellen hat.
Gruss leduart
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Für f(x)=x sin(x) gilt: f'(x)= sin(x)+ x cos(x). Wenn du die Stellen nimmst, wo cos(x) seinen größten Wert - nämlich 1 - annimmt, ist dort sin(x)=0 und f'(x)=x*1=x, wird also mit steigendem x an diesen Stellen immer größer (wegen der Periodizität wiederholt sich cos(x)=1 immer wieder.
Wenn die Steigung nach unendlich geht, ist glm. Stetigkeit unmöglich.
Beweis für diese Funktion:
Annahme: Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta>0 [/mm] mit
|x - [mm] x_0|<\delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - [mm] f(x_0)|<\epsilon, [/mm] wobei [mm] \delta [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] nicht von [mm] x_0 [/mm] abhängen.
Sei nun ein beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] vorgegeben und ein hierzu passendes [mm] \delta [/mm] gefunden worden. Für [mm] x_o [/mm] nehmen wir nun der Reihe nach 0, [mm] 2\pi, 4\pi,..., [/mm] allgemein [mm] k*2\pi [/mm] und für x immer [mm] x_0+\delta/2. [/mm] Dann gilt offenbar:
[mm] |x-x_0|=|k*2\pi+\delta/2-k*2\pi|=\delta/2<\delta [/mm] und demnach [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon, [/mm] also [mm] |(k*2\pi+\delta/2)*sin(k*2\pi+\delta/2)-k*2\pi*sin(k*2\pi)|=|(k*2\pi+\delta/2)*sin(\delta/2)-k*2\pi*0| [/mm] (da die sin-Funktion [mm] 2\pi-periodisch ist)=|(k*2\pi+\delta/2)*sin(\delta/2)|<\epsilon
[/mm]
Egal, wie klein nun [mm] \delta [/mm] sein mag, wegen [mm] \delta>0 [/mm] hat [mm] sin(\delta/2) [/mm] einen positiven Wert (natürlich soll [mm] \delta [/mm] nicht so groß sein, dass es über [mm] \pi [/mm] liegt). Mit dem Faktor [mm] k*2\pi+\delta/2 [/mm] wächst der vorletzte Ausdruck mit wachsendem k über alle Grenzen und damit über jedes [mm] \epsilon [/mm] hinweg, was zu einem Widerspruch führt.
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Du fragst, wie du solche Zusammenhänge "sehen" sollst. Die - zunächst vielleicht blöde klingende - Antwort heißt: durch Erfahrung, Übung, Talent. Ein Unmusikalischer wird nie richtig Musik spielen können, ein Sprachgehemmter keine Stegreif-Rede halten, ein Soziopath sollte kein Personalchef werden. Wer glaubt, die Mathematik wäre nur eine Aneinanderreihung von zu lernenden Formeln und Fakten, der irrt. Sonst wären ja auch alle ungelösten mathematischen Probleme schon gelöst. Ob man für dein Studium unbedingt wissen muss, was gleichmäßig stetig heißt, ist eine andere Frage...
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Danke erstmal, du hast mir wirklich enorm geholfen!
Mir geht es nicht so um die gleichmäßige Stetigkeit. Ich denke nicht, dass es so extrem wichtig ist.
Allgemein die Abschätzungen, die finde ich interessant, und dabei hatte ich einfach wenig Übung.
Ich weiß, dass Mathematik viel mit Gefühl zu tun hat,z.B. ob die Funktion noch "glatt" genug ist, um noch diff*bar zu sein, etc.
Manche Sachen muss ich einfach oft genug gesehen haben, bis ich weiß was ich machen muss.
lg Kai
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