Stetigkeit u. Surjektivität < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],$
b) $g: {[-1,1[} \to {]−\infty, 1{].$
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Hallo,
ich habe zunächst versucht möglichst viele Informationen zu den Stichwörtern der Aufgabe zusammenzutragen, bin aber bis auf die zwei Ausnahmen nicht weiter fündig geworden:
Aus dem Buch "Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen" von Jürgen Appell (![[]](/images/popup.gif) Seite 25) habe ich den folgenden Satz 1.28:
"Eine monotone Funktion hat höchstens Unstetigkeitsstellen 1. Art, also Sprünge. Insbesondere ist jede surjektive monotone Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] stetig."
Surjektivität: Jedes Element aus dem Zielbereich hat MINDESTENS ein Urbild.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen kleinen Hinweis/Tipp geben könnte, wie zumindest der Anfangsweg auszusehen hat, denn im Moment sehe ich wirklich kein Licht am Ende des Tunnels.
Vielen Dank für den Support und die Mühe.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 14.01.2011 | | Autor: | pelzig |
a) Nimm eine stetige surjektive Abbildung [mm] $f:]-1,1]\to]-2,2]$ [/mm] und dann betrachte [mm] $g:\IR\to[-1,1]$ [/mm] mit
[mm] [center]$g(x)=\begin{cases}-1&\text{falls }x<-1\\x&\text{falls }-1\le x\le 1\\1&\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[/center]Dann leistet [mm] $g\circ [/mm] f$ das gewünschte. Bei der b) schau dir mal z.B. die Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] 1/x$ auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] an und verkette mit geeignete Abbildungen.
Gruß, Robert
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right], $
b) $ g: {[-1,1[} \to {]−\infty, 1{]. $
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Hallo Robert,
Danke für Deine Antwort.
> a) Nimm eine stetige surjektive Abbildung [mm]f:]-1,1]\to]-2,2][/mm]
> und dann betrachte [mm]g:\IR\to[-1,1][/mm] mit
> [mm]g(x)=\begin{cases}-1&\text{falls }x<-1\\x&\text{falls }-1\le x\le 1\\1&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> Dann leistet [mm]g\circ f[/mm] das gewünschte.
Robert, ich habe mir das wirklich mehrmals durchgelesen, aber leider verstehe ich es noch nicht. Wäre super, wenn Du noch ein, zwei Sätze schreiben könntest, was der Hintergedanke Deiner Lösung ist.
Auch verstehe ich nicht, warum man statt $f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right]$ [/mm] (aus der Angabe) hier [mm] $f:]-1,1]\to]-2,2]$ [/mm] schreibt...?
> Bei der b) schau dir mal z.B. die Funktion [mm]x\mapsto 1/x[/mm] auf [mm](0,\infty)[/mm] an und
> verkette mit geeignete Abbildungen.
Ich muss erst noch die a) verstehen, habe mir das aber für später notiert. 
> Gruß, Robert
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Sa 15.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Hallo nochmal,
Du hast recht, ich habe in meiner ersten Antwort die Notation etwas unglücklich gewählt. Dieses [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] was ich dort eingeführt habe sind nicht die f und g aus der Aufgabenstellung, sondern erstmal irgendwelche "Hilfsfunktionen" so, dass [mm]g\circ f[/mm] die geforderten Eigenschaften von Aufgabe a) erfüllt.
Viele Grüße, Robert
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right], $
b) $ g: {[-1,1[} \to {]−\infty, 1{]. $
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Hallo Robert,
danke für Deine Antwort.
Bei der a) hattest Du ja geschrieben:
> Nimm eine stetige surjektive Abbildung $ f:]-1,1]\to]-2,2] $ und dann betrachte $ g:\IR\to[-1,1] $ mit $ g(x)=\begin{cases}-1&\text{falls }x<-1\\x&\text{falls }-1\le x\le 1\\1&\text{sonst}\end{cases} $
> Dann leistet $ g\circ f $ das gewünschte.
Hier habe ich leider noch zwei Probleme. Konkret:
- Ich verstehe nicht, warum Dein $f:]-1,1]\to]-2,2]$ surjektiv ist, denn jeder Punkt in der Zielmenge $]-2,2]$ kann doch durch den kleineren Definitionsbereich $]-1,1]$ gar nicht mindestens einmal getroffen werden?
- Obwohl ich auf das Beispiel in Wikipedia bzgl. der Komposition starre, schaffe ich es nicht, die Komposition in der Aufgabe zu kreieren, denn für die Hilfsfunktion [mm] $f\!\$ [/mm] habe ich hier ja keine konkrete Funktion à la [mm] $f(x):=x^{2}.$
[/mm]
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 20.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:43 Fr 21.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right], $
b) $ g: {[-1,1[} \to {]−\infty, 1{]. $
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Good Morning, Vietnam!
Ich stehe bei dieser Aufgabe leider noch immer auf dem Schlauch, sprich mein letzter Stand entspricht immer noch den Problemen in der letzten Frage.
Bin für jede Hilfe wirklich sehr dankbar.
Gruß
&
Einen schönen Tag!
el_grecco
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> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
>
> a) [mm]f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],[/mm]
> Bei der a) hattest Du ja geschrieben:
>
> > Nimm eine stetige surjektive Abbildung [mm]f:]-1,1]\to]-2,2][/mm]
> und dann betrachte [mm]g:\IR\to[-1,1][/mm] mit
> [mm]g(x)=\begin{cases}-1&\text{falls }x<-1\\
x&\text{falls }-1\le x\le 1\\
1&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> > Dann leistet [mm]g\circ f[/mm] das gewünschte.
>
> Hier habe ich leider noch zwei Probleme. Konkret:
> - Ich verstehe nicht, warum Dein [mm]f:]-1,1]\to]-2,2][/mm]
> surjektiv ist, denn jeder Punkt in der Zielmenge [mm]]-2,2][/mm]
> kann doch durch den kleineren Definitionsbereich [mm]]-1,1][/mm] gar
> nicht mindestens einmal getroffen werden?
Hallo,
ob "sein f" surjektiv ist, können wir ja gar nicht entscheiden, denn Robert sagt ja gar nicht, welches f er sich vorstellt.
Er sagt: daß Du irgendein surjektives f mit dem entsprechenden Wertebereich nehmen sollst.
Und solch ein f gibt's tatsächlich. Sogar viele.
Ein Beispiel: f(x):=2x.
> - Obwohl ich auf das
> Beispiel in Wikipedia bzgl. der Komposition
> starre, schaffe ich es nicht, die Komposition in der
> Aufgabe zu kreieren, denn für die Hilfsfunktion [mm]f\!\[/mm] habe
> ich hier ja keine konkrete Funktion à la [mm]f(x):=x^{2}.[/mm]
Nö. Die solltest Du Dir selbst überlegen. Robert wollte halt nicht den Oberkellner geben...
Na gut, nun habe ich das Servierschürzchen umgebunden.
Nun könntest Du ja mal die Komposition [mm] g\circ [/mm] f anschauen und gucken, ob sie wie gefordert aus den Intervall ]-1, 1[ auf das Intervall [1,-1] abbildet.
Eine kleine Panne: wir müssen wegen des geforderten Definitionsbereiches von [mm] g\circ [/mm] f die Funktion [mm] f:]-1,1\red{[}\to ]-2,2\red{[} [/mm] betrachten.
Der Definitionsbereich von [mm] g\circ [/mm] f ist nun also offenbar ]-1,1[, stetig ist sie "automatisch", und nun mußt Du noch schauen, ob sie surjektiv auf [-1,1] abildet.
Schreib doch die Abbildungsvorschrift mal auf!
[mm]g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} ..., & \mbox{fuer } ... \\
..., & \mbox{fuer } ... \\
..., & \mbox{fuer}... \end{cases}[/mm]
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
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Hallo Angela,
> Hallo,
>
> ob "sein f" surjektiv ist, können wir ja gar nicht
> entscheiden, denn Robert sagt ja gar nicht, welches f er
> sich vorstellt.
>
> Er sagt: daß Du irgendein surjektives f mit dem
> entsprechenden Wertebereich nehmen sollst.
> Und solch ein f gibt's tatsächlich. Sogar viele.
>
> Ein Beispiel: f(x):=2x.
>
>
> > - Obwohl ich auf das
> >
> Beispiel in Wikipedia bzgl. der Komposition
> > starre, schaffe ich es nicht, die Komposition in der
> > Aufgabe zu kreieren, denn für die Hilfsfunktion [mm]f\!\[/mm] habe
> > ich hier ja keine konkrete Funktion à la [mm]f(x):=x^{2}.[/mm]
>
> Nö. Die solltest Du Dir selbst überlegen. Robert wollte
> halt nicht den Oberkellner geben...
es tut mir Leid, wenn das fordernd klang, denn das war wirklich nicht meine Absicht. Es hat mich bis zuletzt irritiert, dass in der Aufgabenstellung keine konkrete Funktion gegeben war (wohl noch ein gedankliches Relikt aus der Schulzeit) und so dachte ich bis zuletzt, dass hier ein komplizierter theoretischer Beweis verlangt wird.
> Na gut, nun habe ich das Servierschürzchen umgebunden.
> Nun könntest Du ja mal die Komposition [mm]g\circ[/mm] f anschauen
> und gucken, ob sie wie gefordert aus den Intervall ]-1, 1[
> auf das Intervall [1,-1] abbildet.
>
> Eine kleine Panne: wir müssen wegen des geforderten
> Definitionsbereiches von [mm]g\circ[/mm] f die Funktion
> [mm]f:]-1,1\red{[}\to ]-2,2\red{[}[/mm] betrachten.
>
> Der Definitionsbereich von [mm]g\circ[/mm] f ist nun also offenbar
> ]-1,1[, stetig ist sie "automatisch", und nun mußt Du noch
> schauen, ob sie surjektiv auf [-1,1] abildet.
>
> Schreib doch die Abbildungsvorschrift mal auf!
>
[mm]g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } x<-1 \\
x, & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 \\
1, & \mbox{fuer} x>1 \end{cases}[/mm]
$g [mm] \circ [/mm] f$ bildet also surjektiv auf dem Intervall $[-1,1]$ ab.
Verlangt die Aufgabe eigentlich, dass man eine konkrete Funktion [mm] $g\!\$ [/mm] angeben muss?
Bei der Teilaufgabe b) hatte Robert diesen Hinweis gegeben (ich habe gerade gesehen, dass statt minus-unendlich immer plus-unendlich im linksseitig unendlich abgeschlossenen Intervall der Angabe angezeigt wurde und habe das jetzt berichtigt -> in LaTeX wieder was dazugelernt):
> schau dir mal z.B. die Funktion $ [mm] x\mapsto [/mm] 1/x $ auf $ [mm] (0,\infty) [/mm] $ an und verkette mit geeignete Abbildungen.
Ich denke der Hinweis bezog sich auf die falsche Angabe und lässt sich jetzt nicht mehr verwenden, deshalb löse ich die Aufgabe so:
Ich nehme eine stetige surjektive Abbildung $f:{[-1, 1[} [mm] \to [/mm] {[-2, 2[}$ und betrachte dann [mm] $g:\IR \to {]{-\infty, 1}]}$ [/mm] mit
[mm] $g(x):=\begin{cases} -\infty, & \mbox{für } x<1 \\ 1, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}$
[/mm]
$(g [mm] \circ f)(x)=g(f(x))=\begin{cases} -\infty, & \mbox{für } x<1 \\ 1, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}$
[/mm]
Es sollte mich wundern, wenn obiges richtig ist, denn ich glaube nicht, dass es eine Funktion gibt, die aus einem kleineren Intervall ${[-2, [mm] 2[}\!\$ [/mm] jeden Punkt im größeren Intervall [mm] ${]{-\infty, 1}]}$ [/mm] mindestens einmal treffen kann. Andererseits weiß ich leider keine Alternative.
> Gruß v. Angela
Angela, ich möchte mich an dieser Stelle für Deine große Mühe und Hilfe bedanken, die Du mir während meiner inzwischen fast schon fünfjährigen Mitgliedschaft hier im Forum, bei etlichen Aufgaben geleistet hast. Es ist via Internet im Vergleich zur "realen Welt" um einiges schwieriger, Hilfe zu leisten, aber Du machst das wirklich sehr gut!
Gruß
el_grecco
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> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
>
> a) [mm]h: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],[/mm]
> > Ein Beispiel: f(x):=2x.
> >
> > Eine kleine Panne: wir müssen wegen des geforderten
> > Definitionsbereiches von h=[mm]g\circ[/mm] f die Funktion
> > [mm]f:]-1,1\red{[}\to ]-2,2\red{[}[/mm] betrachten.
> >
> > Der Definitionsbereich von [mm]g\circ[/mm] f ist nun also offenbar
> > ]-1,1[, stetig ist sie "automatisch", und nun mußt Du noch
> > schauen, ob sie surjektiv auf [-1,1] abildet.
> >
> > Schreib doch die Abbildungsvorschrift mal auf!
> >
>
> h(x)=[mm]g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } x<-1 \\
x, & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 \\
1, & \mbox{fuer} x>1 \end{cases}[/mm]
>
Die Abbildungsvorschrift für h stimmt nicht.
Berechne mal h(3/4). Das ist nicht =3/4.
> [mm]g \circ f[/mm] bildet also surjektiv auf dem Intervall [mm][-1,1][/mm]
> ab.
>
> Verlangt die Aufgabe eigentlich, dass man eine konkrete
> Funktion [mm]g\!\[/mm] angeben muss?
Nein. Du sollst einfach eine Funktion [mm] h:]-1,1[\to [/mm] [-1,1] angeben, welche stetig und surjektiv ist.
>
>
> Bei der Teilaufgabe b) hatte Robert diesen Hinweis gegeben
> (ich habe gerade gesehen, dass statt minus-unendlich immer
> plus-unendlich im linksseitig unendlich abgeschlossenen
> Intervall der Angabe angezeigt wurde und habe das jetzt
> berichtigt -> in LaTeX wieder was dazugelernt):
> > schau dir mal z.B. die Funktion [mm]x\mapsto 1/x[/mm] auf
> [mm](0,\infty)[/mm] an und verkette mit geeignete Abbildungen.
>
> Ich denke der Hinweis bezog sich auf die falsche Angabe und
> lässt sich jetzt nicht mehr verwenden, deshalb löse ich
> die Aufgabe so:
>
> Ich nehme eine stetige surjektive Abbildung [mm]f:{[-1, 1[} \to {[-2, 2[}[/mm]
> und betrachte dann [mm]g:\IR \to {]{-\infty, 1}]}[/mm] mit
>
> [mm]g(x):=\begin{cases} -\infty, & \mbox{für } x<1 \\
1, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}[/mm]
Das geht nicht. g soll ja in eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] abbilden, und [mm] -\infty [/mm] ist kein Element von [mm] \IR.
[/mm]
> Es sollte mich wundern, wenn obiges richtig ist, denn ich
> glaube nicht, dass es eine Funktion gibt, die aus einem
> kleineren Intervall [mm]{[-2, 2[}\!\[/mm] jeden Punkt im größeren
> Intervall [mm]{]{-\infty, 1}]}[/mm] mindestens einmal treffen kann.
Wieso nicht? Die Intervalle enthalten gleichviele Punkte.
Versuche doch mal, die ins Spielgebrachte Funktion 1/x ein wenig umzuarbeiten. Verschieben, spiegeln...
>
> Angela, ich möchte mich an dieser Stelle für Deine große
> Mühe und Hilfe bedanken, die Du mir während meiner
> inzwischen fast schon fünfjährigen Mitgliedschaft hier im
> Forum, bei etlichen Aufgaben geleistet hast.
Es freut mich zu hören, daß ich Dir manchmal weiterhelfen konnte.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Ergebnisse. |
Hallo Angela,
> > a) [mm]h: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],[/mm]
>
> > > Ein Beispiel: f(x):=2x.
>
> > >
> > > Eine kleine Panne: wir müssen wegen des geforderten
> > > Definitionsbereiches von h=[mm]g\circ[/mm] f die Funktion
> > > [mm]f:]-1,1\red{[}\to ]-2,2\red{[}[/mm] betrachten.
> > >
> > > Der Definitionsbereich von [mm]g\circ[/mm] f ist nun also offenbar
> > > ]-1,1[, stetig ist sie "automatisch", und nun mußt Du noch
> > > schauen, ob sie surjektiv auf [-1,1] abildet.
> > >
> > > Schreib doch die Abbildungsvorschrift mal auf!
> > >
> >
> > h(x)=[mm]g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } x<-1 \\
x, & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 \\
1, & \mbox{fuer} x>1 \end{cases}[/mm]
>
> Die Abbildungsvorschrift für h stimmt nicht.
> Berechne mal h(3/4). Das ist nicht =3/4.
wenn es jetzt stimmen sollte, dann folgt auch schon die nächste Frage:
[mm]h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} {\color{OliveGreen}-2}, & \mbox{fuer } x \le -1 \\
{\color{OliveGreen}2x}, & \mbox{fuer } -1 < x < 1 \\
{\color{OliveGreen}2}, & \mbox{fuer} x \ge 1 \end{cases}[/mm]
Das was grün markiert ist, muss doch diesem Intervall [mm] $\left[ -1,1 \right]$ [/mm] entsprechen?
Das grün Markierte wäre doch dann ein Verstoß dagegen, da sich das außerhalb dieses Intervalls befindet...
> > Bei der Teilaufgabe b) hatte Robert diesen Hinweis gegeben
> > (ich habe gerade gesehen, dass statt minus-unendlich immer
> > plus-unendlich im linksseitig unendlich abgeschlossenen
> > Intervall der Angabe angezeigt wurde und habe das jetzt
> > berichtigt -> in LaTeX wieder was dazugelernt):
> > > schau dir mal z.B. die Funktion [mm]x\mapsto 1/x[/mm] auf
> > [mm](0,\infty)[/mm] an und verkette mit geeignete Abbildungen.
> >
> > Ich denke der Hinweis bezog sich auf die falsche Angabe und
> > lässt sich jetzt nicht mehr verwenden, deshalb löse ich
> > die Aufgabe so:
> >
> > Ich nehme eine stetige surjektive Abbildung [mm]f:{[-1, 1[} \to {[-2, 2[}[/mm]
> > und betrachte dann [mm]g:\IR \to {]{-\infty, 1}]}[/mm] mit
> >
> > [mm]g(x):=\begin{cases} -\infty, & \mbox{für } x<1 \\
1, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}[/mm]
>
>
> Das geht nicht. g soll ja in eine Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> abbilden, und [mm]-\infty[/mm] ist kein Element von [mm]\IR.[/mm]
Auch wenn ich jetzt im Stile eines Erstklässlers nachfragen muss... Warum darf das [mm] ${]{-\infty, 1}]}$ [/mm] dann in der Angabe verwendet werden?
> > Es sollte mich wundern, wenn obiges richtig ist, denn ich
> > glaube nicht, dass es eine Funktion gibt, die aus einem
> > kleineren Intervall [mm]{[-2, 2[}\!\[/mm] jeden Punkt im größeren
> > Intervall [mm]{]{-\infty, 1}]}[/mm] mindestens einmal treffen kann.
>
> Wieso nicht? Die Intervalle enthalten gleichviele Punkte.
Enthalten sie deshalb gleichviele Punkte, weil zwischen zwei bestimmten Punkten (hier ${[-2, [mm] 2[}\!\$) [/mm] unendlich viele Punkte liegen?
> Versuche doch mal, die ins Spielgebrachte Funktion 1/x ein
> wenig umzuarbeiten. Verschieben, spiegeln...
Ich hoffe, dass ich es endlich kapiere, wenn meine Probleme oben geklärt sind.
> Es freut mich zu hören, daß ich Dir manchmal weiterhelfen
> konnte.
Immer! 
Sorry übrigens wenn (wie in dieser Aufgabe mal wieder) bei mir der Groschen oftmals sehr spät fällt, aber trotz etlicher Versuche das zu ändern, bleibt dieser Makel nachwievor an mir haften...
> Gruß v. Angela
Gruß
el_grecco
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Hallo,
es war g definiert durch
[mm]g(x):=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } x<-1 \\
x, & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 \\
1, & \mbox{fuer} x>1 \end{cases}[/mm]
und f(x):=2x.
> >
> > Die Abbildungsvorschrift für h stimmt nicht.
> > Berechne mal h(3/4). Das ist nicht =3/4.
>
> wenn es jetzt stimmen sollte, dann folgt auch schon die
> nächste Frage:
>
> [mm]h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} {\color{OliveGreen}-2}, & \mbox{fuer } x \le -1 \\
{\color{OliveGreen}2x}, & \mbox{fuer } -1 < x < 1 \\
{\color{OliveGreen}2}, & \mbox{fuer} x \ge 1 \end{cases}[/mm]
Es stimmt nicht. Mach doch mal eine Wertetabelle.
Es ist doch z.B. h(3/4)=g(3/2)=1
> > > Bei der Teilaufgabe b) hatte Robert diesen Hinweis gegeben
> > > Ich nehme eine stetige surjektive Abbildung [mm]f:{[-1, 1[} \to {[-2, 2[}[/mm]
> > > und betrachte dann [mm]g:\IR \to {]{-\infty, 1}]}[/mm] mit
> > >
> > > [mm]g(x):=\begin{cases} -\infty, & \mbox{für } x<1 \\
1, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
> > Das geht nicht. g soll ja in eine Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> > abbilden, und [mm]-\infty[/mm] ist kein Element von [mm]\IR.[/mm]
>
> Auch wenn ich jetzt im Stile eines Erstklässlers
> nachfragen muss... Warum darf das [mm]{]{-\infty, 1}]}[/mm] dann in
> der Angabe verwendet werden?
Es ist [mm] ]-\infty,1]:=\{x\in \IR| x\le 1\}.
[/mm]
Das [mm] -\infty [/mm] im Intervall ist ein Symbol, keine Zahl.
Das Intervall [mm] [\infty,1] [/mm] gibt es in [mm] \IR [/mm] nicht.
>
> > > Es sollte mich wundern, wenn obiges richtig ist, denn ich
> > > glaube nicht, dass es eine Funktion gibt, die aus einem
> > > kleineren Intervall [mm]{[-2, 2[}\!\[/mm] jeden Punkt im größeren
> > > Intervall [mm]{]{-\infty, 1}]}[/mm] mindestens einmal treffen kann.
> >
> > Wieso nicht? Die Intervalle enthalten gleichviele Punkte.
>
> Enthalten sie deshalb gleichviele Punkte, weil zwischen
> zwei bestimmten Punkten (hier [mm]{[-2, 2[}\!\[/mm]) unendlich viele
> Punkte liegen?
Ja. Und zwar "gleichviel" unendliche Punkte, was ja bei [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] nicht der Fall ist.
>
> > Versuche doch mal, die ins Spielgebrachte Funktion 1/x ein
> > wenig umzuarbeiten. Verschieben, spiegeln...
>
> Ich hoffe, dass ich es endlich kapiere, wenn meine Probleme
> oben geklärt sind.
Skizziere doch erstmal eine Funktion wie gefordert oder mehrere.
> Sorry übrigens wenn (wie in dieser Aufgabe mal wieder) bei
> mir der Groschen oftmals sehr spät fällt, aber trotz
> etlicher Versuche das zu ändern, bleibt dieser Makel
> nachwievor an mir haften...
Ich kenne das von früher vom Kaugummiautomatenum die Ecke: da mußte man kräftig gegenhauen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
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Hallo Angela,
es war g definiert durch
[mm]g(x):=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } x<-1 \\
x, & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 \\
1, & \mbox{fuer} x>1 \end{cases}[/mm]
und f(x):=2x.
> > [mm]h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} {\color{OliveGreen}-2}, & \mbox{fuer } x \le -1 \\
{\color{OliveGreen}2x}, & \mbox{fuer } -1 < x < 1 \\
{\color{OliveGreen}2}, & \mbox{fuer} x \ge 1 \end{cases}[/mm]
>
> Es stimmt nicht. Mach doch mal eine Wertetabelle.
>
> Es ist doch z.B. h(3/4)=g(3/2)=1
Erneuter Anlauf:
[mm]h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } x \le -0.5 \\
2x, & \mbox{fuer } -0.5 < x < 0.5 \\
1, & \mbox{fuer} x \ge 0.5 \end{cases}[/mm]
Ich konzentriere mich besser solange auf die a), bis ich sie gelöst habe und beginne die b) dann bei Adam und Eva. Anders macht das denke ich keinen Sinn.
> > Sorry übrigens wenn (wie in dieser Aufgabe mal wieder) bei
> > mir der Groschen oftmals sehr spät fällt, aber trotz
> > etlicher Versuche das zu ändern, bleibt dieser Makel
> > nachwievor an mir haften...
>
> Ich kenne das von früher vom Kaugummiautomatenum die Ecke:
> da mußte man kräftig gegenhauen.
Als Pazifist hoffe ich, dass Du das metaphorisch meinst.
Das ist die letzte Aufgabe von diesem Übungsblatt und trotz (scheinbarer) Einfachheit hat sie mich bisher am meisten Zeit gekostet - und das mit Abstand.
> Gruß v. Angela
Danke für Deine Geduld und Mühe!
Gruß
el_grecco
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> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
>
> a) [mm]f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Ergebnisse.
>
> Erneuter Anlauf:
>
> [mm]h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } x \le -0.5 \\
2x, & \mbox{fuer } -0.5 < x < 0.5 \\
1, & \mbox{fuer} x \ge 0.5 \end{cases}[/mm]
>
Hallo,
na also, geht doch.
Da die Funktion h den definitionsbereich ]-1,1[ hat, mußt Du die erste und dritte Teilfunktion noch einschränken.
Mach Dir und Deinen Chefs klar,daß die Funktion surjektiv auf [-1,1] abbildet und stetig ist.
> > Ich kenne das von früher vom Kaugummiautomatenum die Ecke:
> > da mußte man kräftig gegenhauen.
>
> Als Pazifist hoffe ich, dass Du das metaphorisch meinst.
>
Keine Angst: ich mache zwar spitze Bemerkungen, aber schlagen tue ich nicht. (So bleibt man auf der Seite der Saubermänner bzw. Sauberfrauen...)
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Ergebnisse. |
Guten Morgen Angela,
> Da die Funktion h den definitionsbereich ]-1,1[ hat, mußt
> Du die erste und dritte Teilfunktion noch einschränken.
$ [mm] h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } -1 < x \le -0.5 \\ 2x, & \mbox{fuer } -0.5 < x < 0.5 \\ 1, & \mbox{fuer } 0.5 \le x < 1 \end{cases} [/mm] $
> Mach Dir und Deinen Chefs klar,daß die Funktion surjektiv
> auf [-1,1] abbildet und stetig ist.
stetig ist die Funktion, weil die Komposition stetiger Funktionen stetig ist.
Um die Surjektivität zu beweisen, kommt mir leider nur der Zwischenwertsatz in den Sinn. Gut möglich, dass das vielleicht etwas mit "Kanonen auf Spatzen schießen" ist, aber eine andere Idee habe ich nicht.
Es gibt ein [mm] $x_{0} \in [/mm] {]-1,1[}$ mit [mm] $h(x_{0})=y_{0.}$
[/mm]
$-1 [mm] \le y_{0} \le [/mm] 1,$ also nimmt die Funktion [mm] $h(x)\!\$ [/mm] jeden Wert im angegebenen Intervall an.
Hoffe, dass das stimmt und die a) hiermit erledigt ist.
> > > Ich kenne das von früher vom Kaugummiautomatenum die Ecke:
> > > da mußte man kräftig gegenhauen.
> >
> > Als Pazifist hoffe ich, dass Du das metaphorisch meinst.
> >
>
> Keine Angst: ich mache zwar spitze Bemerkungen, aber
> schlagen tue ich nicht. (So bleibt man auf der Seite der
> Saubermänner bzw. Sauberfrauen...)
Nachdem ich bereits seit einigen Jahren dabei bin, weiß ich, wie die Bemerkungen gemeint sind.
Ein "ordentlicher Tritt in den Allerwertesten" hat vor allem im Fach Mathe noch keinem geschadet.
Vielen Dank!
> Gruß v. Angela
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
>
> a) [mm]f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],[/mm]
> b) [mm]g: {[-1,1[} \to {]{-\infty, 1}]}.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Ergebnisse.
> Guten Morgen Angela,
>
> > Da die Funktion h den definitionsbereich ]-1,1[ hat, mußt
> > Du die erste und dritte Teilfunktion noch einschränken.
>
> [mm]h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } -1 < x \le -0.5 \\ 2x, & \mbox{fuer } -0.5 < x < 0.5 \\ 1, & \mbox{fuer } 0.5 \le x < 1 \end{cases}[/mm]
>
> > Mach Dir und Deinen Chefs klar,daß die Funktion surjektiv
> > auf [-1,1] abbildet und stetig ist.
>
> stetig ist die Funktion, weil die Komposition stetiger
> Funktionen stetig ist.
>
> Um die Surjektivität zu beweisen, kommt mir leider nur der
> Zwischenwertsatz in den Sinn. Gut möglich, dass das
> vielleicht etwas mit "Kanonen auf Spatzen schießen" ist,
> aber eine andere Idee habe ich nicht.
>
> Es gibt ein [mm]x_{0} \in {]-1,1[}[/mm] mit [mm]h(x_{0})=y_{0.}[/mm]
> [mm]-1 \le y_{0} \le 1,[/mm] also nimmt die Funktion [mm]h(x)\!\[/mm] jeden
> Wert im angegebenen Intervall an.
>
> Hoffe, dass das stimmt
Na ja. Du mußt [mm]-1 \le y_{0} \le 1 [/mm] vorgeben und jetzt begründen ( !, nicht nur hinschreiben), warum es ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm][mm] h(x_{0})=y_{0} [/mm] gibt.
> und die a) hiermit erledigt ist.
>
> > > > Ich kenne das von früher vom Kaugummiautomatenum die Ecke:
> > > > da mußte man kräftig gegenhauen.
> > >
> > > Als Pazifist hoffe ich, dass Du das metaphorisch meinst.
> > >
> >
> > Keine Angst: ich mache zwar spitze Bemerkungen, aber
> > schlagen tue ich nicht. (So bleibt man auf der Seite der
> > Saubermänner bzw. Sauberfrauen...)
>
> Nachdem ich bereits seit einigen Jahren dabei bin, weiß
> ich, wie die Bemerkungen gemeint sind.
> Ein "ordentlicher Tritt in den Allerwertesten" hat vor
> allem im Fach Mathe noch keinem geschadet.
Ganz meine Meinung !
Gruß FRED
>
> Vielen Dank!
>
> > Gruß v. Angela
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Ergebnisse. |
Morgen Fred,
> > > Da die Funktion h den definitionsbereich ]-1,1[ hat, mußt
> > > Du die erste und dritte Teilfunktion noch einschränken.
> >
> > [mm]h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } -1 < x \le -0.5 \\ 2x, & \mbox{fuer } -0.5 < x < 0.5 \\ 1, & \mbox{fuer } 0.5 \le x < 1 \end{cases}[/mm]
> >
> > > Mach Dir und Deinen Chefs klar,daß die Funktion surjektiv
> > > auf [-1,1] abbildet und stetig ist.
> >
> > stetig ist die Funktion, weil die Komposition stetiger
> > Funktionen stetig ist.
> >
> > Um die Surjektivität zu beweisen, kommt mir leider nur der
> > Zwischenwertsatz in den Sinn. Gut möglich, dass das
> > vielleicht etwas mit "Kanonen auf Spatzen schießen" ist,
> > aber eine andere Idee habe ich nicht.
> >
> > Es gibt ein [mm]x_{0} \in {]-1,1[}[/mm] mit [mm]h(x_{0})=y_{0.}[/mm]
> > [mm]-1 \le y_{0} \le 1,[/mm] also nimmt die Funktion [mm]h(x)\!\[/mm]
> jeden
> > Wert im angegebenen Intervall an.
> >
> > Hoffe, dass das stimmt
>
>
> Na ja. Du mußt [mm]-1 \le y_{0} \le 1[/mm] vorgeben und jetzt
> begründen ( !, nicht nur hinschreiben), warum es ein [mm]x_0[/mm]
> mit [mm][mm]h(x_{0})=y_{0}[/mm] gibt.
Erneuter Anlauf:
[mm] $x_{0} \in [/mm] {]-1,1[}$ und $h(-1) < [mm] y_{0} [/mm] < h(1)$
Es gibt ein $ [mm] x_{0} \in [/mm] {]-1,1[} $ mit $ [mm] h(x_{0})=y_{0.} [/mm] $
[mm] $y_{0}$ [/mm] beliebig, solange $ -1 [mm] \le y_{0} \le [/mm] 1$ also nimmt die Funktion [mm] $h(x)\!\$ [/mm] jeden Wert im Intervall [mm] $\left[ -1,1 \right]$ [/mm] an.
> Gruß FRED
Danke für Deine Hilfe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
>
> a) [mm]f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],[/mm]
> b) [mm]g: {[-1,1[} \to {]{-\infty, 1}]}.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Ergebnisse.
> Morgen Fred,
>
> > > > Da die Funktion h den definitionsbereich ]-1,1[ hat, mußt
> > > > Du die erste und dritte Teilfunktion noch einschränken.
> > >
> > > [mm]h(x)=g\circ f(x)=g(2x)=\begin{cases} -1, & \mbox{fuer } -1 < x \le -0.5 \\ 2x, & \mbox{fuer } -0.5 < x < 0.5 \\ 1, & \mbox{fuer } 0.5 \le x < 1 \end{cases}[/mm]
> > >
> > > > Mach Dir und Deinen Chefs klar,daß die Funktion surjektiv
> > > > auf [-1,1] abbildet und stetig ist.
> > >
> > > stetig ist die Funktion, weil die Komposition stetiger
> > > Funktionen stetig ist.
> > >
> > > Um die Surjektivität zu beweisen, kommt mir leider nur der
> > > Zwischenwertsatz in den Sinn. Gut möglich, dass das
> > > vielleicht etwas mit "Kanonen auf Spatzen schießen" ist,
> > > aber eine andere Idee habe ich nicht.
> > >
> > > Es gibt ein [mm]x_{0} \in {]-1,1[}[/mm] mit [mm]h(x_{0})=y_{0.}[/mm]
> > > [mm]-1 \le y_{0} \le 1,[/mm] also nimmt die Funktion [mm]h(x)\!\[/mm]
> > jeden
> > > Wert im angegebenen Intervall an.
> > >
> > > Hoffe, dass das stimmt
> >
> >
> > Na ja. Du mußt [mm]-1 \le y_{0} \le 1[/mm] vorgeben und jetzt
> > begründen ( !, nicht nur hinschreiben), warum es ein [mm]x_0[/mm]
> > mit [mm][mm]h(x_{0})=y_{0}[/mm] gibt.
Erneuter Anlauf:
[mm]x_{0} \in {]-1,1[}[/mm] und [mm]h(-1) < y_{0} < h(1)[/mm]
Es gibt ein [mm]x_{0} \in {]-1,1[}[/mm] mit [mm]h(x_{0})=y_{0.}[/mm]
[mm]y_{0}[/mm] beliebig, solange [mm]-1 \le y_{0} \le 1[/mm] also nimmt die Funktion [mm]h(x)\!\[/mm] jeden Wert im Intervall [mm]\left[ -1,1 \right][/mm] an.
Nein, so geht das nicht ! Du sollst $ [mm] y_0 \in [/mm] $ [-1,1] vorgeben und zeigen: es gibt ein $ [mm] x_0 \in(-1,1) [/mm] $ mit $ [mm] h(x_0)=y_0. [/mm] $
Bei obigem h mußt Du den Zwischenwertsatz nicht bemühen:
Fall 1: $ [mm] y_0=-1. [/mm] $ Dann ist doch $ [mm] h(-0,5)=y_0 [/mm] $
Fall 2: $ [mm] y_0=1. [/mm] $ Dann ist doch $ [mm] h(0,5)=y_0 [/mm] $
Fall 3: $ [mm] -1
Gruß FRED
> Gruß FRED
Danke für Deine Hilfe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 So 23.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred,
sorry, ich habe krampfhaft versucht, den ZWS wie in dieser Aufgabe anzuwenden:
Link-Text
> Nein, so geht das nicht ! Du sollst [mm]y_0 \in[/mm] [-1,1] vorgeben und zeigen: es gibt ein [mm]x_0 \in(-1,1)[/mm] mit [mm]h(x_0)=y_0.[/mm]
>
> Bei obigem h mußt Du den Zwischenwertsatz nicht bemühen:
>
> Fall 1: [mm]y_0=-1.[/mm] Dann ist doch [mm]h(-0,5)=y_0[/mm]
>
> Fall 2: [mm]y_0=1.[/mm] Dann ist doch [mm]h(0,5)=y_0[/mm]
>
> Fall 3: [mm]-1
Zum 3. Fall:
Für [mm] $x_{0} \in [/mm] (-0.5,0.5)$ hat die Gleichung eine Lösung in (-1,1).
> Gruß FRED
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> sorry, ich habe krampfhaft versucht, den ZWS wie in dieser
> Aufgabe anzuwenden:
>
> Link-Text
..... andere Aufgabe, andere Methode ...
>
> > Nein, so geht das nicht ! Du sollst [mm]y_0 \in[/mm] [-1,1] vorgeben
> und zeigen: es gibt ein [mm]x_0 \in(-1,1)[/mm] mit [mm]h(x_0)=y_0.[/mm]
> >
> > Bei obigem h mußt Du den Zwischenwertsatz nicht bemühen:
> >
> > Fall 1: [mm]y_0=-1.[/mm] Dann ist doch [mm]h(-0,5)=y_0[/mm]
> >
> > Fall 2: [mm]y_0=1.[/mm] Dann ist doch [mm]h(0,5)=y_0[/mm]
> >
> > Fall 3: [mm]-1
> in (-1,1) ?
>
> Zum 3. Fall:
> Für [mm]x_{0} \in (-0.5,0.5)[/mm] hat die Gleichung eine Lösung
> in (-1,1).
>
Bingo
FRED
> > Gruß FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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> Ein "ordentlicher Tritt in den Allerwertesten" hat vor
> allem im Fach Mathe noch keinem geschadet.
Aber wehe allen Mathelehrern, die es wagen sollten,
diesen Ratschlag in die Tat umzusetzen ... ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Al
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Ergebnisse. |
Hallo Angela,
ich bin mir inzwischen eigentlich sicher, dass die Antwort zur a) in meiner letzten Frage richtig ist, daher jetzt die b).
> > > Versuche doch mal, die ins Spielgebrachte Funktion 1/x ein
> > > wenig umzuarbeiten. Verschieben, spiegeln...
> >
> > Ich hoffe, dass ich es endlich kapiere, wenn meine Probleme
> > oben geklärt sind.
>
> Skizziere doch erstmal eine Funktion wie gefordert oder
> mehrere.
Ich habe mir die Funktion $x [mm] \mapsto \bruch{1}{x}$ [/mm] aufgezeichnet, sie im Ursprung gespiegelt und um +1 verschoben, damit der gewünschte Wertebereich [mm] ${]{-\infty, 1}]}$ [/mm] abgedeckt wird. Hierfür lautet die Funktion dann $x [mm] \mapsto -\bruch{1}{-x}+1.$
[/mm]
Wenn ich versuche, nach dem Schema der a) vorzugehen, bleibe ich stecken (Division durch 0). Zum Beispiel schreibe ich:
$ f: {[-1,1[} [mm] \to [/mm] {[0,2[} $
$ [mm] f(x):=-\bruch{1}{-x}+1 [/mm] $
Problem: die 0 wird im Definitionsbereich zugelassen, obwohl die Division durch 0 nicht zugelassen ist.
Angenommen das obere stimmt:
$g: [mm] \IR \to \left[ -2,1 \right]$
[/mm]
[mm] $g(x):=\begin{cases} -2, & \mbox{für } x < -2 \\ x, & \mbox{für } -2 \le x \le 1 \\ 1, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}$
[/mm]
Die Abbildungsvorschrift mache ich besser erst nach dem Feedback zu Obigem...
> Gruß v. Angela
Nochmals vielen Dank für Deine Mühe und Geduld!
Gruß
el_grecco
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> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
>
> b) [mm]g: {[-1,1[} \to {]{-\infty, 1}]}.[/mm]
>
> >
> > Skizziere doch erstmal eine Funktion wie gefordert oder
> > mehrere.
>
> Ich habe mir die Funktion [mm]x \mapsto \bruch{1}{x}[/mm]
> aufgezeichnet, sie im Ursprung gespiegelt und um +1
> verschoben, damit der gewünschte Wertebereich [mm]{]{-\infty, 1}]}[/mm]
> abgedeckt wird. Hierfür lautet die Funktion dann [mm]x \mapsto -\bruch{1}{-x}+1.[/mm]
>
> Wenn ich versuche, nach dem Schema der a) vorzugehen,
Hallo,
das laß mal bleiben.
Du hast jetzt die Funktion [mm] g_1(x):=\bruch{1}{-x}+1.
[/mm]
Wenn ich diese Funktion
Nun schauen wir mal, was Du erreicht hast, und was nicht.
Wenn ich diese Funktion auf den Bereich [-1,1[ einschränke, habe ich zwei Probleme: erstens ist die Funktion an der Stelle x=0 nicht definiert, und zweitens habe ich ganz [mm] \IR [/mm] als Wertebereich.
Du brauchst eine Funktion, die über den ganzen Intervall [-1,1[ definiert ist. Die Funktion ist nach unten nicht beschränkt. (linkes "Ende" des Wertebereiches.)
Da wäre es doch naheliegend, die Funktion [mm] f_1(x):=\bruch{1}{x} [/mm] erstmal so umzumodeln, daß man an der Stelle x=1, die ja aus dem Definitionsbereich ausgenommen ist, eine senkrechte Asymotote hat.
In welche Richtung mußt Du den Graphen dafür verschieben?
Wie zeigt sich das in der Funktionsgleichung?
Wie ist jetzt der Wertebereich, wenn [-1,1[ der Definitionsbereich ist?
So, nun noch ein Lifting für Du Funktion, damit die Funktionswerte groß genug werden, und fertig bist Du.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Ergebnisse. |
Hallo Angela,
> > Ich habe mir die Funktion [mm]x \mapsto \bruch{1}{x}[/mm]
> > aufgezeichnet, sie im Ursprung gespiegelt und um +1
> > verschoben, damit der gewünschte Wertebereich [mm]{]{-\infty, 1}]}[/mm]
> > abgedeckt wird. Hierfür lautet die Funktion dann [mm]x \mapsto -\bruch{1}{-x}+1.[/mm]
>
> > Wenn ich versuche, nach dem Schema der a) vorzugehen,
>
> das laß mal bleiben.
> Du hast jetzt die Funktion [mm]g_1(x):=\bruch{1}{-x}+1.[/mm]
hast Du vor dem Bruch das Minus vergessen oder ist das Absicht?
> Nun schauen wir mal, was Du erreicht hast, und was nicht.
>
> Wenn ich diese Funktion auf den Bereich [-1,1[
> einschränke, habe ich zwei Probleme: erstens ist die
> Funktion an der Stelle x=0 nicht definiert, und zweitens
> habe ich ganz [mm]\IR[/mm] als Wertebereich.
>
> Du brauchst eine Funktion, die über den ganzen Intervall
> [-1,1[ definiert ist. Die Funktion ist nach unten nicht
> beschränkt. (linkes "Ende" des Wertebereiches.)
> Da wäre es doch naheliegend, die Funktion
> [mm]f_1(x):=\bruch{1}{x}[/mm] erstmal so umzumodeln, daß man an der
> Stelle x=1, die ja aus dem Definitionsbereich ausgenommen
> ist, eine senkrechte Asymotote hat.
>
> In welche Richtung mußt Du den Graphen dafür
> verschieben?
> Wie zeigt sich das in der Funktionsgleichung?
> Wie ist jetzt der Wertebereich, wenn [-1,1[ der
> Definitionsbereich ist?
> So, nun noch ein Lifting für Du Funktion, damit die
> Funktionswerte groß genug werden, und fertig bist Du.
Ich muss hierfür den Graphen nach rechts und nach oben verschieben. Die Funktionsgleichung sieht dann so aus: $x [mm] \mapsto \bruch{1}{x-1}+1.5$
[/mm]
Kann ich jetzt für g (ich meine das g aus der Aufgabenstellung) als Lösung und ohne eine Komposition zweier Funktionen wie in der a) schreiben...?
$g(x) := [mm] \bruch{1}{x-1}+1.5$
[/mm]
Diese Funktion ist im angegebenen Definitionsbereich stetig, da für diesen der Nenner nie 0 wird, (x+1) als Polynom stetig ist und die Komposition stetiger Funktionen (Bruch) selbst stetig ist.
Surjektiv da:
[mm] $y_{0} \in {]{-\infty, 1}]}.$ [/mm] Zeigen: es gibt ein [mm] $x_{0} \in [/mm] {[-1,1[}$ mit [mm] $g(x_{0})=y_{0}$
[/mm]
1. Fall: [mm] $y_{0}=1.$ [/mm] Dann ist [mm] $g(-1)=y_{0}.$
[/mm]
2. Fall: [mm] $y_{0} [/mm] < 1.$ Wahr für [mm] $x_{0} \in [/mm] (-1,1).$
> Gruß v. Angela
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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> Ich muss hierfür den Graphen nach rechts und nach oben
> verschieben. Die Funktionsgleichung sieht dann so aus: [mm]x \mapsto \bruch{1}{x-1}+1.5[/mm]
>
> Kann ich jetzt für g (ich meine das g aus der
> Aufgabenstellung) als Lösung und ohne eine Komposition
> zweier Funktionen wie in der a) schreiben...?
>
> [mm]g(x) := \bruch{1}{x-1}+1.5[/mm]
Hallo,
ja.
Lt. Aufgabenstellung sollst Du eine Funktion mit gewissen Eigenschaften angeben, Akrobatik ist nicht gefordert.
>
> Diese Funktion ist im angegebenen Definitionsbereich
> stetig, da für diesen der Nenner nie 0 wird, (x+1) als
> Polynom stetig ist und die Komposition stetiger Funktionen
> (Bruch) selbst stetig ist.
Die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich, also auf [-1,1[, stetig.
Stetigkeit oder Unstetigkeit haben hier nichts mit der Stelle x=1 zu tun! Hätten wir die Funktion über [mm] \IR\\{0\} [/mm] definiert, wäre sie genauso stetig.
>
> Surjektiv da:
> [mm]y_{0} \in {]{-\infty, 1}]}.[/mm] Zeigen: es gibt ein [mm]x_{0} \in {[-1,1[}[/mm]
> mit [mm]g(x_{0})=y_{0}[/mm]
>
> 1. Fall: [mm]y_{0}=1.[/mm] Dann ist [mm]g(-1)=y_{0}.[/mm]
> 2. Fall: [mm]y_{0} < 1.[/mm] Wahr für [mm]x_{0} \in (-1,1).[/mm]
Das ist nur eine Behauptung.
Das glaubt Dir keiner. Du mußt das [mm] x_0 [/mm] angeben, welches auf Dein [mm] y_0<1 [/mm] abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Ergebnisse. |
Hallo Angela,
Danke erstmal für Deine Antwort und Hilfe.
[mm]g(x) := \bruch{1}{x-1}+1.5[/mm]
> > Surjektiv da:
> > [mm]y_{0} \in {]{-\infty, 1}]}.[/mm] Zeigen: es gibt ein [mm]x_{0} \in {[-1,1[}[/mm]
> > mit [mm]g(x_{0})=y_{0}[/mm]
> >
> > 1. Fall: [mm]y_{0}=1.[/mm] Dann ist [mm]g(-1)=y_{0}.[/mm]
> > 2. Fall: [mm]y_{0} < 1.[/mm] Wahr für [mm]x_{0} \in (-1,1).[/mm]
>
> Das ist nur eine Behauptung.
> Das glaubt Dir keiner. Du mußt das [mm]x_0[/mm] angeben, welches
> auf Dein [mm]y_0<1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
abgebildet wird.
Ich bin mir nicht, sicher, ob der erneute Anlauf jetzt richtig ist:
2. Fall:
$ y_{0} < 1.$ Dann: $\bruch{1}{x_{0}-1} + 1.5 = y_{0}$ und für $x_{0} \in (-1,1)$ hat die Gleichung eine Lösung in ${]{-\infty, 1}{[.$
> Gruß v. Angela
Gruß
el_grecco
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> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
>
> a) [mm]f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],[/mm]
> b) [mm]g: {[-1,1[} \to {]{-\infty, 1}]}.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Ergebnisse.
>
> Hallo Angela,
>
> Danke erstmal für Deine Antwort und Hilfe.
>
> [mm]g(x) := \bruch{1}{x-1}+1.5[/mm]
>
> > > Surjektiv da:
> > > [mm]y_{0} \in {]{-\infty, 1}]}.[/mm] Zeigen: es gibt ein
> [mm]x_{0} \in {[-1,1[}[/mm]
> > > mit [mm]g(x_{0})=y_{0}[/mm]
> > >
> > > 1. Fall: [mm]y_{0}=1.[/mm] Dann ist [mm]g(-1)=y_{0}.[/mm]
> > > 2. Fall: [mm]y_{0} < 1.[/mm] Wahr für [mm]x_{0} \in (-1,1).[/mm]
> >
> > Das ist nur eine Behauptung.
> > Das glaubt Dir keiner. Du mußt das [mm]x_0[/mm] angeben,
> welches
> > auf Dein [mm]y_0<1[/mm] abgebildet wird.
>
> Ich bin mir nicht, sicher, ob der erneute Anlauf jetzt
> richtig ist:
>
> 2. Fall:
> [mm]y_{0} < 1.[/mm] Dann: [mm]\bruch{1}{x_{0}-1} + 1.5 = y_{0}[/mm] und für
> [mm]x_{0} \in (-1,1)[/mm] hat die Gleichung eine Lösung in
> [mm]{]{-\infty, 1}{[.[/mm]
Hallo,
nein, Du mußt wirklich angeben, welches [mm] x_0 [/mm] man einsetzen muß, damit man stumpf rechned am Ende wirklich [mm] y_0 [/mm] dastehen hat, und Du mußt glaubhaft machen, daß dieses [mm] x_0 [/mm] im Definitionsbereich liegt.
Was muß man denn für [mm] x_0 [/mm] einsetzen, wenn man will, daß [mm] \bruch{1}{x_{0}-1} [/mm] + 1.5 = [mm] y_{0} [/mm] ist?
[mm] x_0=17y_0^2+\pi*sin(\wurzel{y_0}) [/mm] +5 ist's nicht. Sondern?
Gruß v. Angela
>
>
> > Gruß v. Angela
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden, sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
a) $ f: {]-1,1[} [mm] \to \left[ -1,1 \right], [/mm] $
b) $ g: {[-1,1[} [mm] \to {]{-\infty, 1}]}. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Ergebnisse. |
Hallo Angela,
> > 2. Fall:
> > [mm]y_{0} < 1.[/mm] Dann: [mm]\bruch{1}{x_{0}-1} + 1.5 = y_{0}[/mm] und
> für
> > [mm]x_{0} \in (-1,1)[/mm] hat die Gleichung eine Lösung in
> > [mm]{]{-\infty, 1}{[.[/mm]
>
> Hallo,
>
> nein, Du mußt wirklich angeben, welches [mm]x_0[/mm] man einsetzen
> muß, damit man stumpf rechned am Ende wirklich [mm]y_0[/mm]
> dastehen hat, und Du mußt glaubhaft machen, daß dieses
> [mm]x_0[/mm] im Definitionsbereich liegt.
>
> Was muß man denn für [mm]x_0[/mm] einsetzen, wenn man will, daß
> [mm]\bruch{1}{x_{0}-1}[/mm] + 1.5 = [mm]y_{0}[/mm] ist?
>
> [mm]x_0=17y_0^2+\pi*sin(\wurzel{y_0})[/mm] +5 ist's nicht. Sondern?
[mm] $\bruch{1}{x_{0}-1}+1.5 [/mm] = [mm] y_{0}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{x_{0}-1}=y_{0}-1.5$
[/mm]
[mm] $\gdw x_{0}-1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{y_{0}-1.5}$
[/mm]
[mm] $\gdw x_{0}=\bruch{1}{y_{0}-1.5}+1$
[/mm]
hoffe, dass das jetzt genügt und ich Dich mit diesem Thread endlich in Frieden lassen kann.
> Gruß v. Angela
Danke vielmals!
Gruß
el_grecco
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> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
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> b) [mm]g: {[-1,1[} \to {]{-\infty, 1}]}.[/mm]
> > Was muß man denn für [mm]x_0[/mm] einsetzen, wenn man will, daß
> > [mm]\bruch{1}{x_{0}-1}[/mm] + 1.5 = [mm]y_{0}[/mm] ist?
> >
> [mm]\gdw x_{0}=\bruch{1}{y_{0}-1.5}+1[/mm]
Hallo,
so, nun hast Du ein [mm] x_0 [/mm] gefunden.
Jetzt schreibst Du:
"sei [mm] y\in ]-\infty,1]
[/mm]
und [mm] x:=\bruch{1}{y_{0}-1.5}+1 [/mm] "
Jetzt machst Du vor, daß dieses x wirklich im Definitionsbereich ist:
y<1 ==> y-1.5<-0.5 ==> 0> 1/(y-1.5)>-2 usw.
und dann rechnest Du vor, wie [mm] g(x_0) [/mm] wirklich [mm] =y_0 [/mm] ergibt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Mo 24.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Es ist vollbracht!
Vielen Dank für Deine Geduld und Hilfe, Angela!
Einen schönen Tag!
Gruß
el_grecco
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> Es sollen die Abbildungsvorschriften angegeben werden,
> sodass die folgenden Funktionen stetig und surjektiv sind:
>
> a) [mm]f: {]-1,1[} \to \left[ -1,1 \right],[/mm]
> b) [mm]g: {[-1,1[} \to {]−\infty, 1{].[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Ergebnisse.
Hallo el-grecco,
nur je ein kleiner Tipp zu jeder der beiden Aufgaben:
a) in der Trigonometrie gibt es solche netten Funktionen,
welche garantiert das ganze Werteintervall [-1 ... +1]
abdecken und garantiert nicht darüber hinausschießen
b) fällt dir da nicht das Phänomen der Polgeraden bei
gebrochen rationalen Funktionen ein ?
und ein genereller Tipp:
mache dir Skizzen ! (nicht nur in diesem Fall)
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 21.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Al,
> Hallo el-grecco,
>
> nur je ein kleiner Tipp zu jeder der beiden Aufgaben:
>
> a) in der Trigonometrie gibt es solche netten Funktionen,
> welche garantiert das ganze Werteintervall [-1 ...
> +1]
> abdecken und garantiert nicht darüber
> hinausschießen
von der Trigonometrie lasse ich besser die Finger, habe mit Analysis ohnehin schon genug zu kämpfen... Kleiner Scherz!
Haben diese Funktionen einen genauen Namen?
> b) fällt dir da nicht das Phänomen der Polgeraden bei
> gebrochen rationalen Funktionen ein ?
>
> und ein genereller Tipp:
>
> mache dir Skizzen ! (nicht nur in diesem Fall)
Robert ("pelzig") hatte schon den Tipp mit dem [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] geliefert. Leider wurde bei der b) in der Angabe der LaTeX-Code falsch dargestellt (das Minus-Zeichen wurde nicht angezeigt, denn man muss das Intervall in geschweifte Klammern setzen und das hatte ich nicht getan -> wieder etwas in LaTeX dazugelernt) und ich habe das zu spät bemerkt. Zur b) ist im Moment noch eine Frage offen.
> LG Al-Chwarizmi
Danke für die Tipps!
Gruß
el_grecco
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> Hallo Al,
>
> > Hallo el-grecco,
> >
> > nur je ein kleiner Tipp zu jeder der beiden Aufgaben:
> >
> > a) in der Trigonometrie gibt es solche netten Funktionen,
> > welche garantiert das ganze Werteintervall [-1 ... +1]
> > abdecken und garantiert nicht darüber
> > hinausschießen
> Haben diese Funktionen einen genauen Namen?
klar, haben sie - es sind üblicherweise die ersten Funktionen,
die in Trigonometrie überhaupt eingeführt werden ...
> > b) fällt dir da nicht das Phänomen der Polgeraden bei
> > gebrochen rationalen Funktionen ein ?
> Robert ("pelzig") hatte schon den Tipp mit dem [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> geliefert.
Das hatte ich übersehen ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Do 27.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo,
nachdem die Musterlösung richtig knapp gehalten ist, dachte ich mir, ich kann sie Euch nicht vorenthalten.
[mm] $f(x):=\bruch{2}{x-1}$
[/mm]
Die Funktion ist eine rationale Funktion welche auf [-1; 1[ streng
monoton fallend in x ist. Sie hat bei -1 den Wert 1 und ist nicht nach unten
beschränkt.
Bilde ich mir das nur ein, oder ist diese Lösung tatsächlich ziemlich oberflächlich, da nur behauptet, aber nicht bewiesen wird?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> nachdem die Musterlösung richtig knapp gehalten ist,
> dachte ich mir, ich kann sie Euch nicht vorenthalten.
>
>
> [mm]f(x):=\bruch{2}{x-1}[/mm]
>
> Die Funktion ist eine rationale Funktion welche auf [-1; 1[
> streng
> monoton fallend in x ist.
> Sie hat bei -1 den Wert 1
Das stimmt nicht !
> und
> ist nicht nach unten
> beschränkt.
>
>
> Bilde ich mir das nur ein, oder ist diese Lösung
> tatsächlich ziemlich oberflächlich, da nur behauptet,
> aber nicht bewiesen wird?
Da stimme ich Dir zu
FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Do 27.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred,
danke für Deine Mitteilung. Auf Dich muss diese "Musterlösung" wie Brabbellaute auf einen studierten Germanisten wirken...
Einziger Vorteil für uns Studenten: das Anforderungslevel wird anscheinend sehr sehr niedrig angesetzt.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für Deine Mitteilung. Auf Dich muss diese
> "Musterlösung" wie Brabbellaute auf einen studierten
> Germanisten wirken...
hallo Grieche,
jetzt stehe ich mal auf dem Schlauch, .... aber obiges verstehe ich nicht ...
FRED
> Einziger Vorteil für uns Studenten: das Anforderungslevel
> wird anscheinend sehr sehr niedrig angesetzt.
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Do 27.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred,
naja ähnlich wie Brabbellaute bei Babys/Kleinkindern, ist die Musterlösung sehr kurz, falsch, oberflächlich... Genauso wie wohl für einen Germanisten (der die deutsche Sprache auf einem sehr hohen Niveau beherrscht) Brabbellaute die reinste Folter sein müssen und seinen germanistischen Intellekt verletzen, dürfte diese Musterlösung für Dich als einen studierten Mathematiker mit Leib und Seele ebenfalls die pure intellektuelle Folter sein.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> naja ähnlich wie Brabbellaute bei Babys/Kleinkindern, ist
> die Musterlösung sehr kurz, falsch, oberflächlich...
> Genauso wie wohl für einen Germanisten (der die deutsche
> Sprache auf einem sehr hohen Niveau beherrscht)
> Brabbellaute die reinste Folter sein müssen und seinen
> germanistischen Intellekt verletzen, dürfte diese
> Musterlösung für Dich als einen studierten Mathematiker
> mit Leib und Seele ebenfalls die pure intellektuelle Folter
> sein.
Aah, ja, .. ich dachte schon, Du würdest mich für einen studierten Germanisten halten, ich bin erleichtert.
#
FRED
>
> Gruß
> el_grecco
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> [mm]f(x):=\bruch{2}{x-1}[/mm]
>
> Die Funktion ist eine rationale Funktion welche auf [-1; 1[
> streng
> monoton fallend in x ist. Sie hat bei -1 den Wert 1 und
> ist nicht nach unten
> beschränkt.
>
>
> Bilde ich mir das nur ein, oder ist diese Lösung
> tatsächlich ziemlich oberflächlich, da nur behauptet,
> aber nicht bewiesen wird?
Hallo,
der Hauptfehler dieser Musterlösung ist der, daß sie falsch ist...
Ich bin mir ziemlich sicher, daß [mm] $f(x):=\bruch{2}{x-1}$\red{+2} [/mm] gemeint war.
Wenn wir an dieser Stelle Gnade walten lassen, dann ist das, was geschrieben wird, von Gebrabbel doch weit entfernt, denn alles Wesentliche, was zur Begründung der Surjektivität nötig ist, wird gesagt.
Ich finde, daß man erkennt gut, daß sich die nötigen Gedanken gemacht wurden.
Na gut, nennen wir das Kind halt nicht "Musterlösung", sondern "Lösungshinweis".
Die Gedanken ausführlicher:
$ [mm] f(x):=\bruch{2}{x-1} $\red{+2}
[/mm]
> Die Funktion ist eine rationale Funktion
(also stetig auf ihrem Definitionsbereich.
Begründung mit dem Sprüchelchen: "Als Komposition stetiger Funktionen...")
> welche auf [-1; 1[
Weil sie stetig ist, ist f([-1,1[) auch ein Intervall.
(Begründung durch die Nr. des entsprechenden Satzes der Vorlesung)
> welche auf [-1; 1[ streng monoton fallend in x ist.
Also ist die obere Grenze des Bildintervalls f(-1)
(Def. der Monotonie)
> Sie hat bei -1 den Wert 1
Also ist die obere Grenze des Bildintervalls 1
> und ist nicht nach unten
beschränkt.
Also ist [mm] f([-1,1[)=]-\infty, [/mm] 1].
Vorausgesetzt ist, daß der Verlauf von 1/x und damit auch der der betrachteten Funktion bekannt ist, es wird also wohl kein Gezappel bzgl. der Monotonie erwartet.)
Gruß v. Angela
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