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| Aufgabe | Ist folgende Funktion stetig?
$f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
[mm] $f_1(x)=\begin{cases} \bruch{x(x+1)}{|x|}, x \not= 0 \\ 1, x=0 \end{cases}$ [/mm] |
Hi, ich habe mal eine weitere Aufgabe zu Stetigkeit gerechnet. Hier weiß ich nicht so recht, wie ich nach Rechtsseitigem und Linksseitigem Grenzwert unterscheiden soll.
Ich habe folgenden Ansatz:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x(x+1)}{|x|}$ [/mm] Erweitern mit x, da so alle Zahlen im Nenner positiv bleiben.
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^2(x+1)}{x^2}$ [/mm] Nun kürzen
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(x+1)}{1}$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x+1$
[mm] $\red{=1}$
[/mm]
Bei der anderen Funktion ist es klar:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 1$
[mm] $\red{=1}$
[/mm]
In diesem Fall sind beide Grenzwerte gleich! --> Es besteht die Möglichkeit, dass die Funktion stetig ist.
Jetzt fehlt nur noch die Prüfung $ [mm] \red{RGS=LGS=f(x_0)} [/mm] $ (siehe Beitrag
Aber was ist denn in diesem Falle meine Stelle [mm] x_0?
[/mm]
Danke
Grüße Thomas
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Hi,
> Ist folgende Funktion stetig?
>
> [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
>
>
> [mm]f_1(x)=\begin{cases} \bruch{x(x+1)}{|x|}, x \not= 0 \\ 1, x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Hi, ich habe mal eine weitere Aufgabe zu Stetigkeit
> gerechnet. Hier weiß ich nicht so recht, wie ich nach
> Rechtsseitigem und Linksseitigem Grenzwert unterscheiden
> soll.
>
> Ich habe folgenden Ansatz:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x(x+1)}{|x|}[/mm] Erweitern mit
> x, da so alle Zahlen im Nenner positiv bleiben.
Hmm, nein, das kannst du nicht machen.... du hast ja im grunde einen faktor $x/|x|$ und einen faktor $x+1$. der zweite ist harmlos, deswegen schau dir nochmal genau den ersten an. setze mal positive sowie negative x-werte ein, was kommt da raus?
VG
Matthias
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^2(x+1)}{x^2}[/mm] Nun kürzen
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(x+1)}{1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x+1[/mm]
>
> [mm]\red{=1}[/mm]
>
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>
> Bei der anderen Funktion ist es klar:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 1[/mm]
>
> [mm]\red{=1}[/mm]
>
>
> In diesem Fall sind beide Grenzwerte gleich! --> Es besteht
> die Möglichkeit, dass die Funktion stetig ist.
> Jetzt fehlt nur noch die Prüfung [mm]\red{RGS=LGS=f(x_0)}[/mm]
> (siehe Beitrag
> Aber was ist denn in diesem Falle meine Stelle [mm]x_0?[/mm]
>
>
>
> Danke
>
>
>
> Grüße Thomas
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Hi Matthias,
> Hi,
> > Ist folgende Funktion stetig?
> >
> > [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> >
> >
> > [mm]f_1(x)=\begin{cases} \bruch{x(x+1)}{|x|}, x \not= 0 \\ 1, x=0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hi, ich habe mal eine weitere Aufgabe zu Stetigkeit
> > gerechnet. Hier weiß ich nicht so recht, wie ich nach
> > Rechtsseitigem und Linksseitigem Grenzwert unterscheiden
> > soll.
> >
> > Ich habe folgenden Ansatz:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x(x+1)}{|x|}[/mm] Erweitern mit
> > x, da so alle Zahlen im Nenner positiv bleiben.
>
> Hmm, nein, das kannst du nicht machen.... du hast ja im
> grunde einen faktor [mm]x/|x|[/mm] und einen faktor [mm]x+1[/mm]. der zweite
> ist harmlos, deswegen schau dir nochmal genau den ersten
> an. setze mal positive sowie negative x-werte ein, was
> kommt da raus?
>
> VG
> Matthias
Es kommt in jedem Falle egal ob ich positive oder negative x-Werte einsetze. Bei positiven Werten entspricht das Ergebnis dem eingesetzten x-Wert+1 und bei negativen x-Werten entspricht das Ergebnis x-Wert-1
[mm] $\blue{x=5}$
[/mm]
[mm] $\blue{\bruch{5*(5+1)}{5}=6}$
[/mm]
[mm] $\blue{x=-5}$
[/mm]
[mm] $\blue{\bruch{-5*(-5+1)}{5}=4}$
[/mm]
Ich weiß aber trotzdem nicht, was ich jetzt machen könnte. Wenn unten das x kein Betrag wäre, würde ich ein x im Nenner und Zähler kürzen.
Danke Grüße Thomas
>
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^2(x+1)}{x^2}[/mm] Nun kürzen
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(x+1)}{1}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x+1[/mm]
> >
> > [mm]\red{=1}[/mm]
> >
> >
> >
> > Bei der anderen Funktion ist es klar:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 1[/mm]
> >
> > [mm]\red{=1}[/mm]
> >
> >
> > In diesem Fall sind beide Grenzwerte gleich! --> Es
> besteht
> > die Möglichkeit, dass die Funktion stetig ist.
> > Jetzt fehlt nur noch die Prüfung [mm]\red{RGS=LGS=f(x_0)}[/mm]
> > (siehe Beitrag
> > Aber was ist denn in diesem Falle meine Stelle [mm]x_0?[/mm]
> >
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> >
> > Danke
> >
> >
> >
> > Grüße Thomas
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Hallo Thomas!
Am sichersten geht es, wenn Du eine Fallunterscheidung machst und den Betrag $|x|_$ durch die entsprechende Definition ersetzt:
[mm] |x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Damit ergibt sich für Deine Funktion [mm] $f_1(x)$ [/mm] :
[mm]f_1(x)=\begin{cases} \bruch{x*(x+1)}{-x} & \mbox{für } x \ < \ 0 \\ 1 & \mbox{für } x \ = \ 0 \\ \bruch{x*(x+1)}{+x} & \mbox{für } x \ > \ 0 \end{cases}[/mm]
Nun kannst Du auch jeweils gefahrlos kürzen:
[mm]f_1(x)=\begin{cases} -(x+1) & \mbox{für } x \ < \ 0 \\ 1 & \mbox{für } x \ = \ 0 \\ +(x+1) & \mbox{für } x \ > \ 0 \end{cases}[/mm]
Und "Knackpunkt" bezüglich Stetigkeit ist lediglich die Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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