Stetigkeit normierter Raum < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien (X, [mm] \parallel*\parallel_x) [/mm] und [mm] (Y,\parallel*\parallel_y) [/mm] normierte Räume.
Zeigen sie, dass ein linearer Operator [mm] A:x\to [/mm] y genau dann stetig ist, wenn er beschränkt ist. |
Ich weiß nicht, wie man da zeigen kann!
Was ich bisher weiß ist, was eine Norm ist, aber selbst mit der Darstellung der normierten Räume kann ich nicht so viel anfangen.
Auch weiß ich nicht, wie man die Beschränktheit nachweist.
ich brauche die Aufgabe bis morgen Abend und hoffe, ihr könnt mir irgendwie helfen. ist echt wichtig!
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Mi 29.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien (X, [mm]\parallel*\parallel_x)[/mm] und
> [mm](Y,\parallel*\parallel_y)[/mm] normierte Räume.
> Zeigen sie, dass ein linearer Operator [mm]A:x\to[/mm] y genau dann
> stetig ist, wenn er beschränkt ist.
> Ich weiß nicht, wie man da zeigen kann!
>
> Was ich bisher weiß ist, was eine Norm ist, aber selbst mit
> der Darstellung der normierten Räume kann ich nicht so viel
> anfangen.
[mm] (X,\parallel*\parallel_x) [/mm] ist der normierte (Vektor)Raum X mit der Norm [mm] \parallel*\parallel [/mm] auf x, das bedeutet der Index _x .
> Auch weiß ich nicht, wie man die Beschränktheit nachweist.
Du zeigst, dass es eine Schranke gibt (obere oder untere)
>
> ich brauche die Aufgabe bis morgen Abend und hoffe, ihr
> könnt mir irgendwie helfen. ist echt wichtig!
Jetzt sollst du ja zeigen:
der Lineare Operator [mm] A:x\to{y} [/mm] ist stetig
[mm] \gdw
[/mm]
der Lineare Operator [mm] A:x\to{y} [/mm] ist beschränkt.
Die Äquivalenz beinhaltet zwei Beweise:
1)
der Lineare Operator [mm] A:x\to{y} [/mm] ist stetig
[mm] \Rightarrow [/mm]
der Lineare Operator [mm] A:x\to{y} [/mm] ist beschränkt.
Und
2)der Lineare Operator [mm] A:x\to{y} [/mm] ist Beschränkt
[mm] \Rightarrow [/mm]
der Lineare Operator [mm] A:x\to{y} [/mm] ist stetig.
Jetzt versuche mal, diese Beweise anzufangen.
Dazu schreib mal auf, was es bedeutet, dass
der Lineare Operator [mm] A:x\to{y} [/mm] stetig ist, und versuche dann eine Folgerungskette aufzustellen, die bei der Existenz einer Schranke landet.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Was Beschränktheit bedeutet habe ich dir hier
https://matheraum.de/read?t=460321
geschrieben.
Nimm an, A sei stetig, aber nicht beschränkt. Dann gibt es eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in X mit [mm] ||x_n|| [/mm] = 1 und [mm] ||Ax_n|| [/mm] > n.
Setze [mm] z_n [/mm] = [mm] (1/n)x_n. [/mm] Dann gilt [mm] z_n [/mm] --> 0 und [mm] ||Az_n|| [/mm] > 1 . Das ist aber ein Widerspruch, denn A ist stetig, also auch [mm] Az_n [/mm] --> 0
FRED
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