Stetigkeit mit e-Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (1) Gibt es ein x [mm] \in [/mm] [0, 5] so, dass [mm] e^{\wurzel{x}}-2 [/mm] = [mm] \sin{x}?
[/mm]
(2) Gibt es ein x [mm] \in [/mm] [0, 1] mit [mm] e^{x}=-x? [/mm] |
Hallo,
ich hab tierische Schwierigkeiten hier zu Rande zu kommen.
Zu 1: Reicht es einen Schnittpunkt zu finden und dann links und rechts davon auf Stetigkeit zu prüfen? Die e-, Wurzel- und sin-Funktion sind ja alle für sich Stetig. Wenn, ja wie mache ich das? Ich hab gewaltige Schwierigkeiten mit [mm] e^{irgendwas} [/mm] und [mm] \sin [/mm] ...
Zu 2: An Hand der linken Intervallgrenze sieht man schon, dass es keinen Schnittpunkt geben kann, da bei x=0, [mm] e^{x}=1 [/mm] und -x=0; und anschließend nimmt die e-Funktion nur positive und die -x-Funktion nur negative Werte an. Aber wie Beweis ich das am Besten mathematisch?
Vielen Dank im Vorraus!
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Hallo,
naja, überleg dir doch erstmal in welcher größenordnung du hier arbeitest. Die Sinusfunktion oszilliert zwischen -1 und 1. So jetzt schau dir mal [mm] e^{\wurzel{2}}-2 [/mm] an. [mm] e^{\wurzel{2}}\approx e^{1.5}=e^{1}*e^{0.5}\approx [/mm] 2.8*1.5=4.2
so, jetzt sag mir, ob die beiden sich schneiden können. [mm] e^{\wurzel{2}}-2 [/mm] ist ja nur eine parallele zur x-achse.
Reicht das, oder sollst du einen mathematischen beweis führen ?
beim zweiten hast du recht, dass es keinen schnittpunkt gibt. ich denke deine begründung sollte ausreichen.
LG
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Tut mir wirklich leid, aber ich hab mich beim tippen wohl vertippt. Die Aufgabe zu 1) soll heissen [mm] e^{\wurzel{x}}-2=\sin{x}. [/mm] Ich habe es gerade im Ersten Beitrag editiert.
Entschuldige bitte vielmals die Unannehmlichkeit.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib die Gleichung als f(x)=0 um.
dann sieh nach ob du leicht in, oder m Rand ds Intervalls inen positiven und einen negativen Wert der stetigen fkt findest. Dann Zwischenwertsatz.
2 hast du schon richtig, für alle x im intervall ist [mm] e^x+x>0
[/mm]
und dass einfach mit e1x>0 für alle x, und [mm] x\ge0 [/mm] für x>0
es ist immer leichter zu zeigen, dass ne Differenz 0 oder unglich 0 ist, als zu zeigen dass 2 dinge gleich sind.
Gruss leduart
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Ich frag lieber einmal zu viel, als einmal zu wenig.
Ich hab jetzt [mm] f(x)=0=e^{\wurzel{x}}-2-\sin{x}.
[/mm]
Prüfen auf Stetigkeit anhand der Definitionsgrenzen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} e^{\wurzel{x}}-2-\sin{x}= e^{\wurzel{0}}-2-\sin{0} [/mm] = -1;
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 5} e^{\wurzel{x}}-2-\sin{x}= e^{\wurzel{5}}-2-\sin{5} [/mm] > 0;
(Den Wert kann ich nur Abschätzen, da wir keine Taschenrechner nutzen dürfen.)
Schlusssatz: Sowohl die e-Funktion, als auch die Wurzel- und Sinusfunktion sind stetig in [0,5], daher ist auch die Kombination der Teilfunktionen stetig. Ferner gilt, der Zwischenwertsatz, der aussagt, dass eine stetige Funktion auf einen kompakten Intervall [a,b] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Somit gibt es mindestens ein [mm] x\in \IR [/mm] für das [mm] e^{\wurzel{x}}-2=\sin{x} [/mm] gilt.
Alles so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Prinzip ja, aber wieso ein lim? rechne einfach f(0) aus, dann muss es ja nicht 5 sein, sondern z. bsp
[mm] f(\pi)=e^\pi-2>e-2>0 [/mm] so was ist einfacher, wenn man keinen TR hat
du könntest auch [mm] f(\pi)>2^\pi-2>2^3-2=6 [/mm] rechnen!
grde in schwierigeren Problemen beharr nicht grad auf den Randpunkten, muss ja nur irgendwo <0 und irgendwo >0 sein.
Aber wenn dus noch ohne den unnötigen lim schreibst ist auch so alles richtig.
Gruss leduart
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