Stetigkeit in \IR < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Do 09.04.2015 | | Autor: | blubblub |
| Aufgabe | | Gibt es eine nicht ganz auf [mm] \IR [/mm] stetige Funktion? |
Hallo,
wir diskutieren gerade über die obere Frage und kommen auf die Antwort, dass es so eine Funktion gibt und zwar: eine alternierende Funktion. Jedoch fehlt uns ein konkretes Beispiel. Könnt ihr uns helfen??
lg blubblub :)
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> Gibt es eine nicht ganz auf [mm]\IR[/mm] stetige Funktion?
> Hallo,
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> wir diskutieren gerade über die obere Frage und kommen
> auf die Antwort, dass es so eine Funktion gibt und zwar:
> eine alternierende Funktion. Jedoch fehlt uns ein konkretes
> Beispiel. Könnt ihr uns helfen??
>
> lg blubblub :)
Was ihr meint, ist wahrscheinlich eine auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] unstetige Funktion. Wie wäre es mit [mm] $f(x)=\begin{cases}1&x\in\IQ\\-1&x\notin\IQ\end{cases}$? [/mm] Ihr könnt ja mal versuchen, zu zeigen, dass diese nirgends stetig ist. Ihr benötigt dafür lediglich den Fakt, dass [mm] $\IQ$ [/mm] und auch [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegen, das heißt zwischen je zwei reellen Zahlen liegt mindestens eine rationale und eine irrationale Zahl.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Do 09.04.2015 | | Autor: | blubblub |
Danke für die schnelle Antwort :) Wir probieren es ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Do 09.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo UniOb,
> > Gibt es eine nicht ganz auf [mm]\IR[/mm] stetige Funktion?
> > Hallo,
> >
> > wir diskutieren gerade über die obere Frage und kommen
> > auf die Antwort, dass es so eine Funktion gibt und zwar:
> > eine alternierende Funktion. Jedoch fehlt uns ein konkretes
> > Beispiel. Könnt ihr uns helfen??
> >
> > lg blubblub :)
>
> Was ihr meint, ist wahrscheinlich eine auf ganz [mm]\IR[/mm]
> unstetige Funktion. Wie wäre es mit
> [mm]f(x)=\begin{cases}1&x\in\IQ\\-1&x\notin\IQ\end{cases}[/mm]? Ihr
> könnt ja mal versuchen, zu zeigen, dass diese nirgends
> stetig ist. Ihr benötigt dafür lediglich den Fakt, dass
> [mm]\IQ[/mm] und auch [mm]\IR\setminus\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
liegen,
das ist richtig, aber man kann auch teilweise konkret werden: Ist $r \in \IQ\,,$ so
konvergiert die Folge $(j_n)$ von irrationalen Zahlen mit
$j_n:=r+\sqrt{2}/n$
sicherlich gegen $r\,.$ (Man sollte kurz $j_n \notin \IQ$ begründen!)
Für irrationales $r\,$ ($\in \IR \setminus \IQ$) arbeitet man dann am Besten mit
der Dichtheit von $\IQ$ in $\IR$ - aus dieser folgt die Existenz einer
rationalen Folge $(q_n)$ mit $q_n \to r$.
Wem das nicht so ganz klar ist: Sei $\epsilon_1=1\,.$
1.) Wähle $j_1 \in (r,r+\epsilon_1) \cap \IQ\,.$
[Setze in den folgenden Schritten für $n=2,3,\ldots$
$\epsilon_n:=\min\{j_{\red{n-1}}-r,\,1/n}\}$.]
2.) Wähle $j_2 \in (r,r+\epsilon_2) \cap \IQ$ (beachte: es ist $0 < \epsilon_2 \le 1/2$ und $0 < \epsilon_2 \le j_1-r$)
3.) Wähle $j_3 \in (r,r+\epsilon_3) \cap \IQ$ (beachte: es ist $0 < \epsilon_3 \le 1/3$ und $0 < \epsilon_2 \le j_2-r$)
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( Edit 13.00 Uhr: Ich hoffe, nun sind alle Verschreiber und *Vergesser*
korrigiert!  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Do 09.04.2015 | | Autor: | blubblub |
Danke :)
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