Stetigkeit im Punkt x_{0}=4 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Skipper |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
Ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter:
Zeigen Sie direkt mit Hilfe der [mm] \varepsilon- \delta-definition [/mm] der Stetigkeit:
Die Funktion f: [mm] \IR\to \IR [/mm] definiert durch f(x)=x² und g: [mm] \IR^{+}\to \IR [/mm] definiert durch g(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] sind stetig in Punkt [mm] x_{0}=4
[/mm]
vielleicht könnt ihr ja helfen.
Schon mal Danke im vorraus.
Mfg
Skipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Sa 27.11.2004 | | Autor: | frabi |
Hallo Skipper!
Die [mm] $\varepsilon-\delta$-Definition [/mm] der Stetigkeit lautet ja:
$f(x)$ ist in [mm] $x_0$ [/mm] stetig gdw. gilt:
für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] existiert ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass
für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] folgt [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.
[/mm]
Wenn man jetzt also annimt, man hätte so ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] gegeben, dann
gilt doch für die relevanten $x$:
$f(x) [mm] \in ]f(x_0)-\varepsilon,f(x_0)+\varepsilon[$
[/mm]
also $x [mm] \in \ldots$.
[/mm]
Wie muss man also das [mm] $\delta$ [/mm] wählen?
viele Grüße
frabi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Epsilon |
Hey, interessante Aufgabe, du hörst nicht zufällig auch Ana I bei Prof. Kebekus an der Universität zu Köln ?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 So 28.11.2004 | | Autor: | Skipper |
Hi Epsilon.
Doch rein zufällig höre ich auch Ana 1 bei Kebukus.
Bist du mit den Aufgaben schon weitergekommen?
Kannst ja mal schrieben, wenn du magst:
cadi.leehr@gmx.de
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Hallo,
ich werd Dir mal die Stetigkeit von f in [mm] x_{0}=4 [/mm] zeigen. Für g ist es ziemlich analog, so dass Du es damit selbst üben kannst. Ich schreib das auch nicht mathematisch exakt auf, das soll Dir ja nur als Hilfe dienen:
Also, nach der Definition des [mm] \varepsilon- \delta-Kriteriums [/mm] folgt :
[mm] |x-4|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|=|x^{2}-16|=|x-4||x+4|<\delta|x+4|=\varepsilon, [/mm] da man [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{|x+4|} [/mm] wählt, weil es ja eben ein [mm] \delta [/mm] für jedes [mm] \varepsilon [/mm] gibt. Das heißt ja, dass [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] gewählt werden muss.
Ich hoffe, dass ich Dir helfen konnte und Du die Stetigkeit von g selber zeigen kannst.
Danke Peter, für den Hinweis. Natürlich musste das "+" sein. Habe den Fehler korrigert!
MfG Till
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 So 28.11.2004 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Till,
dieser automatisch erzeugte Text klingt viel zu dramatisch für den kleinen Flüchtigkeitsfehler.
Nach dem letzten "kleiner als" Zeichen muss es doch offenbar heißen:
[mm] $\delta [/mm] |x$$+$$4|$.
Gruß,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 28.11.2004 | | Autor: | iiMaestro |
Hi!
Ich hab meinen kleinen Fehler korrigiert.
Jetzt ist also alles wieder gut.
MfG Till
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