Stetigkeit exp(x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Di 10.02.2009 | | Autor: | eldorado |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass x [mm] \mapsto [/mm] exp(x) nicht gleichmäßig stetig auf [mm] \IR [/mm] ist |
Hallo,
ich bin neu hier, hab schon viel mitgelesen und hab jetzt auch mal eine Frage.
Ich hab mit Stetigkeitsbeweißen noch so meine Probleme und hab auch keine Ahnung ob ich das so richitg gemacht hab.
also:
x,y,C [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] f(x)=e^{x}
[/mm]
[mm] f´(x)=e^{x} [/mm] ; [mm] e^{x} [/mm] ist auf [mm] \IR [/mm] nicht nach oben beschränkt
|x-y| < [mm] \delta
[/mm]
[mm] |e^{x} [/mm] - [mm] e^{y}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
laut zwischenwertsatz gibt es ja ein s mit x<s<y, sodass gilt:
[mm] |\bruch{e^{x} - e^{y}}{x-y}|= [/mm] f´(s)
[mm] |e^{x} [/mm] - [mm] e^{y}|= [/mm] f´(s) |x-y|
->da f´(x) nicht nach oben beschränkt ist existiert kein C mit
[mm] |e^{x} [/mm] - [mm] e^{y}| \le [/mm] C |x-y| = [mm] \varepsilon
[/mm]
-> [mm] e^{x} [/mm] ist nicht Lipschitzstetig und somit auch nicht glm stetig
Stimmt das so? Oder totaler Mist?
Danke schon mal für Antworten!
LG eldorado
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie, dass x [mm]\mapsto[/mm] exp(x) nicht gleichmäßig stetig
> auf [mm]\IR[/mm] ist
> Hallo,
> ich bin neu hier, hab schon viel mitgelesen und hab jetzt
> auch mal eine Frage.
> Ich hab mit Stetigkeitsbeweißen noch so meine Probleme und
> hab auch keine Ahnung ob ich das so richitg gemacht hab.
> also:
>
> x,y,C [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]f(x)=e^{x}[/mm]
>
> [mm]f´(x)=e^{x}[/mm] ; [mm]e^{x}[/mm] ist auf [mm]\IR[/mm] nicht nach oben beschränkt
>
> |x-y| < [mm]\delta[/mm]
>
> [mm]|e^{x}[/mm] - [mm]e^{y}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> laut zwischenwertsatz gibt es ja ein s mit x<s<y, sodass
Du meinst den Mittelwertsatz !!
> gilt:
>
> [mm]|\bruch{e^{x} - e^{y}}{x-y}|=[/mm] f´(s)
>
> [mm]|e^{x}[/mm] - [mm]e^{y}|=[/mm] f´(s) |x-y|
>
> ->da f´(x) nicht nach oben beschränkt ist existiert kein C
> mit
> [mm]|e^{x}[/mm] - [mm]e^{y}| \le[/mm] C |x-y| = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> -> [mm]e^{x}[/mm] ist nicht Lipschitzstetig und somit auch nicht glm
> stetig
Wer sagt denn das ?? es gibt gleichmäßig stetige Funktionen, die nicht Lipschitzstetig sind. Zum beispiel $f(x) = [mm] \wurzel{x}$ [/mm] auf [0,1]
>
> Stimmt das so? Oder totaler Mist?
> Danke schon mal für Antworten!
> LG eldorado
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Mach es so:
Annahme: [mm] e^x [/mm] ist auf [mm] \IR [/mm] glm. stetig. Dann gibt es zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1 ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit:
(*) [mm] |e^x-e^y| [/mm] < 1 für jedes x und y mit |x-y| < [mm] \delta
[/mm]
ist dann x [mm] \in \IR [/mm] und y:= x+ [mm] \bruch{\delta}{2}, [/mm] so folgt aus (*):
[mm] e^x|1-e^{\delta/2}| [/mm] <1 für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Für x--> [mm] \infty [/mm] liefert dies aber eine Widerspruch.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 10.02.2009 | | Autor: | eldorado |
> Wer sagt denn das ?? es gibt gleichmäßig stetige
> Funktionen, die nicht Lipschitzstetig sind. Zum beispiel
> [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm] auf [0,1]
oh man stimmt, danke
aber jede Lipschitzstetige Funktion ist auch glm stetig oder?
die lösung ist ja logisch und ich versteh sie auch, nur ich weiß immer nicht wie ich zum beispiel auf y=x+ [mm] \bruch{\delta}{2} [/mm] komm.
gibts da irgend einen trick?
LG eldorado
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Wer sagt denn das ?? es gibt gleichmäßig stetige
> > Funktionen, die nicht Lipschitzstetig sind. Zum beispiel
> > [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm] auf [0,1]
>
> oh man stimmt, danke
> aber jede Lipschitzstetige Funktion ist auch glm stetig
> oder?
So ist es
>
>
> die lösung ist ja logisch und ich versteh sie auch, nur ich
> weiß immer nicht wie ich zum beispiel auf y=x+
> [mm]\bruch{\delta}{2}[/mm] komm.
> gibts da irgend einen trick?
so etwas ist Erfahrung. Wir betrachten doch x und y mit |x-y| < [mm] \delta.
[/mm]
Manchmal funktionieren Widerspruchsbeweise mit obiger Wahl von y.
Genauso kannst Du zeigen, dass $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] auf [mm] \IR [/mm] nicht glm. stetig ist.
Probiers mal aus
FRED
>
> LG eldorado
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Di 10.02.2009 | | Autor: | eldorado |
> Genauso kannst Du zeigen, dass [mm]f(x) = x^2[/mm] auf [mm]\IR[/mm] nicht
> glm. stetig ist.
>
> Probiers mal aus
ok, also:
x,y [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
sei [mm] \varepsilon [/mm] := 1
x-y < [mm] \delta
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] < 1
sei x [mm] \in \IR [/mm] und y= x + [mm] \bruch{\delta}{2}
[/mm]
[mm] |x^{2}-y^{2}| [/mm] = [mm] |x^{2}-(x+\bruch{\delta}{2})^{2}|=| -x\delta [/mm] - [mm] \bruch{\delta^{2}}{4} [/mm] |= [mm] \delta [/mm] |-x - [mm] \bruch{\delta}{4}| [/mm] <1
widerspruch für [mm] x->\infty
[/mm]
stimmt das?
wie müsste ich jetzt vorgehen, wenn ich nicht zeigen soll, dass es gleichmäßig stetig ist, sonder nur stetigkeit zeigen soll?
LG eldorado
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Genauso kannst Du zeigen, dass [mm]f(x) = x^2[/mm] auf [mm]\IR[/mm] nicht
> > glm. stetig ist.
> >
> > Probiers mal aus
>
> ok, also:
>
> x,y [mm]\in \IR[/mm]
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
> sei [mm]\varepsilon[/mm] := 1
> x-y < [mm]\delta[/mm]
Spendiere Beträge
> [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] < 1
Spendiere Beträge
>
> sei x [mm]\in \IR[/mm] und y= x + [mm]\bruch{\delta}{2}[/mm]
>
> [mm]|x^{2}-y^{2}|[/mm] = [mm]|x^{2}-(x+\bruch{\delta}{2})^{2}|=| -x\delta[/mm]
> - [mm]\bruch{\delta^{2}}{4}[/mm] |= [mm]\delta[/mm] |-x - [mm]\bruch{\delta}{4}|[/mm]
> <1
>
> widerspruch für [mm]x->\infty[/mm]
>
> stimmt das?
Ja
FRED
>
> wie müsste ich jetzt vorgehen, wenn ich nicht zeigen soll,
> dass es gleichmäßig stetig ist, sonder nur stetigkeit
> zeigen soll?
>
> LG eldorado
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Di 10.02.2009 | | Autor: | eldorado |
Danke hat mir wirklich sehr geholfen! =)
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