Stetigkeit einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mi 22.09.2010 | | Autor: | vierg |
| Aufgabe | Es ist zu zeigen, dass [mm] f:\IR^2->\IR^2 [/mm] mit
[mm] f(x_{1},x_{2})=\begin{cases} 0, & \mbox{für }(x_{1},x_{2})=(0,0) \mbox { }\\ \bruch{x_{1}x_{2}^3}{x_{1}^2+x_{2}^4}, & \mbox{für} (x_{1},x_{2})\not=(0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
stetig (0,0) ist. |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich möchte bei dieser Funktion die Stetigkeit in (0,0) gerne mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] zeigen. Ich hab schon mehr oder weniger lange versucht für [mm] \parallel x\parallel<\delta [/mm] (wobei ich die euklidische Norm meine) f so umzuformen, dass ich auf epsilon komme, aber es gelang mir einfach nicht.
Für einen Vorschlag für ein epsilon wäre ich sehr dankbar
mfg
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Zunächst handelt es sich doch hier um eine Abildung vom [mm] R^{2} [/mm] nach R
$ [mm] f(x_{1},x_{2})=\begin{cases} 0, & \mbox{für }(x_{1},x_{2})=(0,0) \mbox { }\\ \bruch{x_{1}x_{2}^3}{x_{1}^2+x_{2}^4}, & \mbox{für} (x_{1},x_{2})\not=(0,0) \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
und das [mm] \varepsilon [/mm] ist beliebig und somit nicht "vorschlagbar", denn man wählt ja ein [mm] \delta [/mm] in abhängigkeit von [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn das mit Epsilon-Delta zu zeigen ist, dann muss man also diese Def. zeigen:
f ist steitg in [mm] x_{0}, [/mm] falls gilt: [mm] \forall\varepsilon>0 \exists\delta>0 [/mm] s.d. [mm] |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|<\varepsilon \forall x\in R^{2}, [/mm] wobei hier [mm] x=(x_{1},x_{2}) [/mm] und [mm] x_{0}=(0,0)
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig. Wähle [mm] \delta [/mm] =... . Dann gilt:
[mm] |f(x)-f(x_{0}|=| \bruch{x_{1}x_{2}^3}{x_{1}^2+x_{2}^4} [/mm] - 0| ...
hier empfiehlt es sich das ganze Mal von hinten zusätzlich aufzuziehen, um zu gucken wo man hin will, z.B. für [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon:
[/mm]
... [mm] |\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}|=|(x_{1},x_{2})|= |(x_{1},x_{2})-(0,0)|=|x-x_{0}|<\delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn du jetzt noch (vielleicht in einer Nebenrechnung) zeigen kannst, dass | [mm] \bruch{x_{1}x_{2}^3}{x_{1}^2+x_{2}^4} [/mm] | [mm] \le |\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}| [/mm] hast du ein [mm] \delta [/mm] gefunden und gezeigt, dass f in [mm] x_{0} [/mm] stetig ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:16 Do 23.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
waehl erstmal x1,x2<1 weil du dann besser abscaetzen kannst z. Bsp [mm] x2`3
sonst rechne mal vor, was du bisher versucht hast.
Gruss leduart
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