Stetigkeit einer Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Fr 10.12.2004 | | Autor: | ThomasK |
Seien [mm] a_{n} \to a_{0} [/mm] und [mm] b_{n} \to b_{0} [/mm] konvergente Folgen in [mm] \IC [/mm] , wobei die an paarweise verschieden
seien. Sei D := {an | n [mm] \in \IN_{0} [/mm] }, und sei f : D [mm] \to \IC [/mm] definiert durch [mm] f(a_{n}) [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_{0}.
[/mm]
Wie zeigt man die stetigkeit der funktion?
Achja Vorrausgesetz ist noch, das alle [mm] a_{n} [/mm] paarweise verschieden sind
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Hallo Thomas!
Hui, so eine Flut von Fragen... das wirkt so, als hättest Du gleich den Großteil des Aufgabenzettels gepostet. 
Ernsthaft: Hast Du Dich mit diesen Fragen beschäftigt? Mit jeder einzelnen? Ich weiß selbst, dass es natürlich leichter ist, die Fragen so ins Forum zu schreiben - aber glaub mir, man wird Dir viel lieber antworten, wenn Du zeigst, dass Du eigene Ansätze hast oder uns zumindest genauer mitteilst, wo Deine Probleme liegen. Wir können ja jetzt schlecht bei Adam & Eva (bzw. den Peano-Axiomen) anfangen!
Ich habe Deine beiden anderen Fragen erstmal auf den Status "nur für Interessierte" gesetzt und kümmere mich erstmal um diese eine Frage.
Also, die Menge $D$ besteht aus paarweise verschiedenen Elementen einer konvergenten Folge. Wenn eine Folge konvergent ist, dann konvergiert jede Teilfolge ebenfalls gegen den Grenzwert (in diesem Fall [mm] $a_0$) [/mm] woraus folgt, dass dies der einzige Häufungspunkt der Folge sein kann.
Weiter: wir sollen die Stetigkeit von $f$ in jedem Punkt [mm] $a_n \in [/mm] D$ zeigen. Für $n [mm] \not= [/mm] 0$ aber hat der Punkt eine Umgebung, die kein anderes Folgenglied enthält (sonst wäre es ja ein Häufungspunkt!) - eine ideale [mm] $\delta$-Umgebung, [/mm] die das [mm] $\varepsilon [/mm] - [mm] \delta$-Kriterium [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ erfüllt, überzeuge Dich selbst davon!
Bleibt die Stetigkeit im Punkt [mm] $a_0$ [/mm] zu zeigen. Dies geht am besten über das Folgenkriterium - wir nehmen uns irgendeine Folge in $D$, die gegen [mm] $a_0$ [/mm] konvergiert - dies ist zwangsläufig eine Teilfolge der [mm] $a_n$'s. [/mm] Die Bilder der Folgenglieder sind dann eine Teilfolge der [mm] $b_n$'s, [/mm] die folglich gegen [mm] $b_0 [/mm] = [mm] f(a_0)$ [/mm] konvergiert - voilà, wir sind fertig!
Alles klar? Glaub mir, es ist besser, sich nacheinander mit den Aufgaben zu beschäftigen und zu versuchen, sie wirklich nachzuvollziehen.
Lars
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:34 Fr 10.12.2004 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Danke für deine Antwort und deine Tipps. :)
Hab mir jetzt mal ein buch zur hand genommen.
Also muss ich zuerst mit hilfe des [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium zeigen, das für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \delta [/mm] > 0 gilt [mm] f(a_{n}) \to f(a_{0}) [/mm] und [mm] f(b_{n}) \to f(b_{0}) [/mm]
der Betrag aus f(a) [mm] \to f(a_{0}) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und
f(b) [mm] \to f(b_{0}) [/mm] < [mm] \delta [/mm]
daraus folgt:
der Betrag aus [mm] f(a_{n}) \to f(a_{0}) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und
[mm] f(b_{n}) \to f(b_{0}) [/mm] < [mm] \delta [/mm] für fast alle n.
und das beweißt [mm] f(a_{n}) \to f(a_{0}) [/mm] und [mm] f(b_{n}) \to f(b_{0})
[/mm]
ist das soweit richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> ist das soweit richtig?
Nein, das was du geschrieben hast, macht von vorne bis hinten keinen Sinn. 'Hier werden des öfteren Bild- und Urbildbereich vertauscht. Es gestaltet sich daher schwierig darauf im einzelnen einzugehen. Halte dich einfach an Lars Tipps, dann geht es ohne Probleme durch.
Viele Grüße
Stefan
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