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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Do 11.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo!
Ich muss die Stetigkeit folgender Funktion auf |R untersuchen:
f(x) = [x] + [mm] \wurzel[n]{x-[x]} [/mm] , n >= 2 zeigen.
also ich stell mir die funktion so vor dass der linke teil immer um 1 steigt und der rechte teil immer von [mm] \wurzel[n]{0} [/mm] bis [mm] \wurzel[n]{1} [/mm] geht. damit wär f(x) dann gefühlsmäßig auf ganz |R stetig.
aber ich muss das ja beweisen ^^ und weiß nicht so recht wie ich zum ziel komme:
zuerst hab ich mir überlegt dass ich f(x) in g(x)=[x] und h(x)= [mm] \wurzel[n]{x-[x]} [/mm] spalten könnte und jeweils die stetigkeit zeigen könnte, dann wäre (g+h)(x) auch wieder stetig. aber g(x) ist ja nur stetig auf den jeweiligen Intervallen [0,1), [1,2),......
Dann habe ich versucht irgendwie das [mm] \delta \epsilon [/mm] kriterium anzuweden, finde aber keinen Weg [mm] \delta [/mm] zu wählen.
Mit dem Folgenkriterium komme ich auch nicht weiter.
eine Idee hätte ich noch zu zeigen dass f(x) eigtl dieselbe Form haben müsste wie die Funktion [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] . Für diese Funktion haben wir in der Vorlesung gezeigt bekommen dass sie auf [mm] [0,\infty)stetiug [/mm] ist.
Es ist für mich aber auch die erste Funktion deren Stetigkeit ich zeigen muss, bin also noch nicht so erfahren.
Würde mich daher sehr freuen wenn mir jemand einen Tipp dazu geben könnte und wenn es generell tipps zur Herangehensweise an Aufgaben dieser Art gibt, würde mir das auch sehr helfen.
Mfg
Thomas
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Es gilt für alle reellen [mm]x \geq 0[/mm]:
[mm][x+1] = [x] + 1[/mm]
Denn ob man eine reelle Zahl um 1 erhöht und dann ihren Kommateil wegstreicht oder ob man zuerst ihren Kommateil wegstreicht und dann um 1 erhöht, bleibt sich gleich.
Nutze diese Beziehung aus, um für deine Funktion die Funktionalgleichung
[mm]f(x+1) = 1 + f(x) \, , \ \ x \geq 0[/mm]
nachzuweisen. Die Stetigkeit im offenen Intervall [mm](0,1)[/mm] ist ja klar. Jetzt mußt du nur noch die Stetigkeit bei 0 und 1 nachweisen. Da kannst du teilweise schon die Funktionalgleichung verwenden. Du kannst es aber auch direkt mit der Funktionsgleichung tun. Berechne jeweils die Grenzwerte von links und von rechts getrennt.
Schließlich erlaubt es die Funktionalgleichung, die Stetigkeit von Intervall zu Intervall sukzessive nachzuweisen. Formal müßte man wohl einen Induktionsbeweis führen.
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Hallo und vielen Dank für die Antwort.
Die Stetigkeit in (0,1) ist zwar irgendwie klar, aber das muss man doch trotzdem noch nachweisen oder nicht? welches Kriterium bietet sich dafür an?
und ist der beweis für die eckpunkte so richtig?:
f(x) ist in [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig wenn für alle [mm] (x_n) [/mm] mit lim [mm] x_n [/mm] = 0 gilt: [mm] lim(f(x_n))=f(x_0).
[/mm]
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine beliebgige Folge mit [mm] lim(x_n)=0 [/mm] dann gilt lim [mm] f(x_0) [/mm] = f(0) = 0
Damit ist f(x) in [mm] x_0=0 [/mm] stetig.
und für den eckpunkt 1:
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] lim(x_n)=x_0=1 [/mm] dann gilt lim [mm] f(x_n)=f(1)=1. [/mm] Damit ist f(x) stetig in [mm] x_0=1. [/mm]
Ich muss aber sagen dass mit das Folgenkriterium no´ch nicht wirklich einleuchtet. Ist lim [mm] f((x_n)) [/mm] mit lim [mm] x_n [/mm] --> [mm] x_0 [/mm] nicht immer [mm] f(x_0) [/mm] ?
mfg thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 13.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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