Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey 
es geht um folgenden Beweis:
Sei [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funtkion die in jedem Punkt stetig ist und für r [mm] \in \IQ [/mm] gelte f(r)=0 . nun soll ich zeigen, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt f(x)=0
mein Ansatz:
wir wissen ja, das lim [mm] f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm]
da r [mm] \in \IQ [/mm] gilt auch r [mm] \in \IR [/mm] oder?
kann man die Definition so weiter umformen oder bin ich auf dem Holzweg?
LG
|
|
| |
|
Hiho,
> wir wissen ja, das lim [mm]f(x_{n})[/mm] = [mm]f(x_0)[/mm]
Ja, für alle [mm] x_0 [/mm] und alle Folgen [mm] $x_n \to x_0$
[/mm]
> da r [mm]\in \IQ[/mm] gilt auch r [mm]\in \IR[/mm] oder?
Das ist trivial
> kann man die Definition so weiter umformen oder bin ich auf dem Holzweg?
Mach dir klar, dass es zu jedem [mm] $x\in\IR$ [/mm] eine Folge [mm] $(r_n) \subseteq \IQ$ [/mm] gibt mit [mm] $r_n \to [/mm] x$ und dann nutze deinen Ansatz.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Danke erstmal
>
> Mach dir klar, dass es zu jedem [mm]x\in\IR[/mm] eine Folge [mm](r_n) \subseteq \IQ[/mm]
> gibt mit [mm]r_n \to x[/mm] und dann nutze deinen Ansatz.
diese Folge gibt es, da ja es ja eine Teilfolge von x->x ist und r eine Teilmenge von X ist. oder wie beweise ich diese Aussage?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> diese Folge gibt es, da ja es ja eine Teilfolge von x->x ist
Was? Der Satz macht keinen Sinn
> und r eine Teilmenge von X ist
und der noch weniger. Tipp: Dichtheit.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Ja da sagt man von der Teilmenge [mm] \IQ [/mm] , sie liege dicht in dem Raum [mm] \IR [/mm] und jede Umgebung eines beliebigen Punktes aus [mm] \IR [/mm] immer auch ein Element aus [mm] \IQ [/mm] enthält. aber das reicht nicht zu begründen das die Folge r-> x existiert oder?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ja da sagt man von der Teilmenge [mm]\IQ[/mm] , sie liege dicht in
> dem Raum [mm]\IR[/mm] und jede Umgebung eines beliebigen Punktes
> aus [mm]\IR[/mm] immer auch ein Element aus [mm]\IQ[/mm] enthält.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber das reicht nicht zu begründen das die Folge r-> x existiert oder?
Doch, du kannst sie sogar konstruktiv angeben auf diese Weise.
Versuchs mal.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
meinst du etwas f: [mm] \IQ [/mm] -> [mm] \IR?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Sa 11.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> meinst du etwas f: [mm]\IQ[/mm] -> [mm]\IR?[/mm]
Nein !
Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Für eine positive Zahl s sei [mm] U_s:=\{x \in \IR: |x-x_0|
Zu s=1 ex. ein [mm] r_1 \in \IQ [/mm] mit: [mm] r_1 \in U_1
[/mm]
Zu [mm] s=\bruch{1}{2} [/mm] ex. ein [mm] r_2 \in \IQ [/mm] mit: [mm] r_2 \in U_{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Zu [mm] s=\bruch{1}{3} [/mm] ex. ein [mm] r_3 \in \IQ [/mm] mit: [mm] r_3 \in U_{\bruch{1}{3}}
[/mm]
etc ....
Wir erhalten so eine Folge rationaler Zahlen [mm] (r_n) [/mm] mit:
[mm] |r_n-x_0|< \bruch{1}{n} [/mm] für jedes n.
Fazit: [mm] r_n \to x_0
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
okay danke
ich habe bei dem Thema leider krankheitsbedingt gefehlt und es ist schwer sich dies so anzueignen. Ich würde mich freuen wenn du mir bei meinen Fragen helfen kannst:
1. Wofür steht s? kann mamn mehr darüber aussagen als das es eine positive Zahl bzw. ein Index ist? s müsste doch eigentlich eine beliebig kleine Zahl sein, oder ? da der Abstand für Große n ja gegen 0 tendieren soll wegen [mm] (x_{n}->{x_0}
[/mm]
2. Wie kommst du auf die Formulierung [mm] |x-x_{0}| [/mm] < s
3. Wieso ist beispielsweise (1/3) = [mm] r_3 [/mm] und nicht [mm] r_{1/3} [/mm] ?
dann muss ich ja noch beweisen das f(x)=0
also:
[mm] r_{n} [/mm] -> [mm] x_0
[/mm]
[mm] f(r_{n})=0 [/mm] also müsste doch eigentlich auch [mm] f(x_0) [/mm] für große n =0 sein oder? und wegen [mm] x_{n} [/mm] -> [mm] x_0 [/mm] gilt demnach ja auch f(x)=0
kann man das so sagen?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 11.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fred hat dir einen Weg gezeigt, wie man aus der dichte der zahlen eine Folge [mm] r_n [/mm] konstruieren kann mir r:_n Folge deren g
Glieder in immer kleineren Umgebungen von [mm] x_0 [/mm] liegen, d,h, [mm] r_n [/mm] konvergiert nach Def, gegen [mm] x_0
[/mm]
sieh dir den Beitrag damit nich mal an!
[mm] r_{1/3} [/mm] macht keinen Sinn, da man ja eine Folge von r will
du willst [mm] |x-x_0|<1/n
[/mm]
|
|
|
| |
|
ja ok. ich verstehe denk ich. die Koeffizienten sollen ja auch wachsen...
aber wie kann ich das Wissen, dass [mm] r->x_0 [/mm] geht nun nutzen um zu beweisen das f(x)=0?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Sa 11.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du denn was [mm] U_{1/n)(x_0} [/mm] ? ist. was weist du über eine zahl r in [mm] U_{1/n)(x_0} [/mm] ? Lies wirklich mal Freds post genau, nimm dir dafür Zeit (viel wenn es sein muß) , zeichne vielleich die entsprechenden U auf. Da stand schon fast der komplette Beweis.
Und du mußt ihn nur verdauen, vorkauen ist hier nicht.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
wie gesagt: ich habe bei dem Thema leider gefehlt :-( daher ist mir das alles nicht so vertraut. [mm] U_{n} [/mm] ist doch die Menge der reellen Zahlen. und wenn ich weiß, dass [mm] r->x_0 [/mm] (somit auch [mm] f(r)->f(x_0) [/mm] )geht und wegen der Stetigkeit auch voraussetze das [mm] x_{n}->x{0} [/mm] ...allerdings ist mir fraglich wie ich nun auf f(x)=0 schließen kann. dann müsste ich ja voraussetzen, dass r=x oder?
Grüße
Ps: diesmal habe ich mir wirklich lange Gedanken gemacht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 So 12.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> wie gesagt: ich habe bei dem Thema leider gefehlt :-( daher
> ist mir das alles nicht so vertraut. [mm]U_{n}[/mm] ist doch die
> Menge der reellen Zahlen.
Unfug. Wer lesen kann ist im Vorteil:
$ [mm] U_s:=\{x \in \IR: |x-x_0|
> und wenn ich weiß, dass [mm]r->x_0[/mm]
[mm]r_n->x_0[/mm] !!!!!
(somit auch [mm]f(r)->f(x_0)[/mm] )geht
[mm]f(r_n)->f(x_0)[/mm] !!!!
> und wegen der Stetigkeit
> auch voraussetze das [mm]x_{n}->x{0}[/mm]
Was ????
>...allerdings ist mir
> fraglich wie ich nun auf f(x)=0 schließen kann. dann
> müsste ich ja voraussetzen, dass r=x oder?
Wir haben [mm] r_n \in \IQ [/mm] für alle n und [mm]f(r_n)->f(x_0)[/mm]
Nach Vor. ist [mm] f(r_n)=0 [/mm] für alle n.
FRED
>
> Grüße
> Ps: diesmal habe ich mir wirklich lange Gedanken gemacht
|
|
|
| |
|
tut mir leid das du so ein mir verzweifeln musst :-P
also bis zu [mm] f(r_{n})->f(x_0) [/mm] komme ich noch mit. aber wie schlussfolgere ich davon auf [mm] r_{n}=x_{n} [/mm]
vielleicht so:
wegen [mm] f(r_{n}) [/mm] =0 gilt dann auch:
[mm] 0->f(x_0) [/mm] und wegen 0 [mm] \in \IR [/mm] gilt auch ...
könnte man so argumentieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 So 12.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> tut mir leid das du so ein mir verzweifeln musst :-P
> also bis zu [mm]f(r_{n})->f(x_0)[/mm] komme ich noch mit. aber wie
> schlussfolgere ich davon auf [mm]r_{n}=x_{n}[/mm]
Was ist denn ülötzlich [mm] x_n [/mm] ??????????????????????????????
> vielleicht so:
> wegen [mm]f(r_{n})[/mm] =0 gilt dann auch:
> [mm]0->f(x_0)[/mm] und wegen 0 [mm]\in \IR[/mm] gilt auch ...
> könnte man so argumentieren?
Wegen [mm]f(r_{n})[/mm] =0 gilt: [mm] f(x_0)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(r_n)=0.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
du hast natürlich recht. ich weiß nun was gemeint ist danke
|
|
|
|
