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Heyho 
ich beschäftige mich momentan mit dem Thema Stetigkeit und einer Aufgabe um diese zu beweisen. Es geht darum, für die Funktion [mm] f(x)=x^{x} [/mm] mit x>0 und f(0):=1( im Definitionsbereich D:={x [mm] \in \IR [/mm] | x>0} ) zu beweisen, dass diese auf ganz D stetig ist
mein Ansatz:
für Stetigkeit allgemein gilt ja:
aus [mm] x_{n}->x_{0} [/mm] folgt, dass [mm] f(x_{n})->f(x_{0})
[/mm]
ich würde dies mit Hilfe das Delta-Epsilon Kriteriums beweisen-macht dies Sinn?
also:
Wir müssen zeigen, dass aus [mm] |x-x_{0}|<\delta [/mm] folgt, dass [mm] |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|x^{x}-x_{0}^{x_{0}}|=|e^{ln(x)*x}-e^{ln(x_{0})*x_{0}}=...
[/mm]
leider weiß ich an dieser Stelle nicht weiter. Ich würde mich über eure Hilfe freuen.
LG
AnnaHundi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
für x>0 brauchst du eigentlich nichts zeigen, sondern kannst so begründen, warum $f(x) = [mm] x^x [/mm] = [mm] e^{x*\ln(x)}$ [/mm] stetig ist.
Bleibt also nur die Stetigkeit an 0 zu zeigen, das machst du am Besten mit dem Folgenkriterium und läuft auf die Bestimmung von
[mm] $\lim_{x\to 0} x*\ln(x)$ [/mm] hinaus. Das bekommst du wohl hin.
Gruß,
Gono.
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Hey
> Hiho,
>
> für x>0 brauchst du eigentlich nichts zeigen, sondern
> kannst so begründen, warum [mm]f(x) = x^x = e^{x*\ln(x)}[/mm]
> stetig ist.
da es eine Komposition stetiger Funktionen ist, oder?
> Bleibt also nur die Stetigkeit an 0 zu zeigen, das machst
> du am Besten mit dem Folgenkriterium und läuft auf die
> Bestimmung von
>
> [mm]\lim_{x\to 0} x*\ln(x)[/mm] hinaus. Das bekommst du wohl hin.
was ich nicht verstehe:
der Definitonsbereich ist doch x>0, wieso soll ich dann zeigen, dass die Funktion auch im Punkt 0 stetig ist? bzw. Wieso ist f(0)=1 überhaupt angegeben?
und was meinst du genau mit Folgenkriterium? tut mir leid das ich Frage, aber dieses Kapitel sollten wir im Selbststudium erarbeiten und im Internet finde ich leider nichts unter dem Begriff Folgenkriterium..
LG
AnnaHundi
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Hiho,
> da es eine Komposition stetiger Funktionen ist, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> was ich nicht verstehe:
> der Definitonsbereich ist doch x>0, wieso soll ich dann zeigen, dass die Funktion auch im Punkt 0 stetig ist? bzw. Wieso ist f(0)=1 überhaupt angegeben?
Die Funktion ist wie folgt definiert:
$f(x) = [mm] \begin{cases} x^x &\mbox{für } x>0 \\ 1 &\mbox{für } x=0 \end{cases}$
[/mm]
Die Funktion ist also definiert [mm] $f:[0,\infty) \to \IR$.
[/mm]
> und was meinst du genau mit Folgenkriterium?
Das gilt: [mm] $\lim_{x \to x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0)$ [/mm] Für [mm] $x_0 \in (0,\infty)$ [/mm] wissen wir ja schon, dass das gilt, bleibt das also für x=0 zu zeigen.
Gruß,
Gono.
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Hey
meinst du vielleicht so:
lim [mm] f(x)_{x->0}=lim x^{x}_{x->0}=1= [/mm] f(0)
heißt:
lim [mm] f(x)_{x->0}=f(0)
[/mm]
reicht das als Beweis?
LG
PS: entschuldigt die schlechte Formatierung, ich kenne mich leider noch nicht so aus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 So 26.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo AnnaHundi,
> Hey
> meinst du vielleicht so:
> lim [mm]f(x)_{x->0}=lim x^{x}_{x->0}=1=[/mm] f(0)
> heißt:
> lim [mm]f(x)_{x->0}=f(0)[/mm]
> reicht das als Beweis?
>
> LG
> PS: entschuldigt die schlechte Formatierung, ich kenne
> mich leider noch nicht so aus
Zunächst zur Formatierung:
Du kannst dir mal den Quellcode von den Texten angucken,
dann merkst du ganz schnell wie so etwas geht.
Unabhängig von deiner Formatierung konnte ich erkennen,
dass du es falsch gemacht hast.
Zu zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=1
[/mm]
Es gilt:
[mm] f(x)=x^x=e^{x*\ln(x)}
[/mm]
Außerdem ist die Funktion $f$ als Exponentialfunktion stetig,
sodass du eigentlich nur noch folgendes zeigen musst:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}e^{x*\ln(x)}=e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)}=1.
[/mm]
Das ist nur dann erfüllt, wenn folgendes gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=0 [/mm] - Warum?
Hast du eine Idee wie man das zeigen kann?
Viel wichtiger - Hast du verstanden wieso wir so vorgehen?
Gruß
DieAcht
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Hey, danke für deine nette Hilfe. das nehme ich mir gleich zu Herzen
> Es gilt:
>
> [mm]f(x)=x^x=e^{x*\ln(x)}[/mm]
>
> Außerdem ist die Funktion [mm]f[/mm] als Exponentialfunktion
> stetig,
> sodass du eigentlich nur noch folgendes zeigen musst:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}e^{x*\ln(x)}=e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)}=1.[/mm]
>
> Das ist nur dann erfüllt, wenn folgendes gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=0[/mm] - Warum?
wegen [mm] e^{0}=1 [/mm]
>
> Hast du eine Idee wie man das zeigen kann?
mein Vorschlag:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x *\limes_{x\rightarrow 0}ln(x)
[/mm]
= 0 * [mm] \limes_{x\rightarrow 0}ln(x)
[/mm]
=0
kann man das so zeigen?
> Viel wichtiger - Hast du verstanden wieso wir so vorgehen?
Ja das habe ich hoffentlich. Danke
Anna Hundi
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Hey
danke für den Tipp
> Tipp:
>
> [mm]\ln(x)*x=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}[/mm]
>
> Jetzt wieder du!
Also ich hätte jetzt wieder geschrieben:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x) [/mm] = [mm] \frac{\limes_{x\rightarrow 0}x}{\limes_{x\rightarrow 0}ln(x)}
[/mm]
aber das bringt mich auch nicht weiter, oder?
LG
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Hey
oh irgenwie stehe ich am Schlauch :-(
also [mm] \limes_{x\rightarrow 0}1/x [/mm] = [mm] \infty [/mm] oder?
und [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\ln(x) [/mm] = ?? eine negative Zahl
worauf willst du denn hinaus?
LG
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Hey
tut mir leid L'Hospital hatten wir leider noch nicht. darf ich daher nicht verwenden. gibt es noch eine weiter Möglichkeit?
Liebe Grützlis
AnnaHundi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 26.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Hey
>
> tut mir leid L'Hospital hatten wir leider noch nicht. darf
> ich daher nicht verwenden. gibt es noch eine weiter
> Möglichkeit?
Substituiere [mm] x:=e^{-y} [/mm] und benutze die Reihendarstellung.
Gruß
DieAcht
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Hey
meinst du die Reihendarstellung von [mm] \sum_{n=0}^{\infty}x* [/mm] ln(x) ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 26.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Nein, das meine ich nicht. Das ist auch komplett falsch!
Setze [mm] x:=e^{-y}, [/mm] dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=\limes_{y\rightarrow\infty}(-y)e^{-y} [/mm]
Weißt du wieso das gilt?
Hast du nun eine Idee?
Gruß
DieAcht
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Hey
Der Grenzwert ist wahrscheinlich =0
das für Große y die Funktion [mm] e^{-y} [/mm] gegen 0 verläuft. Die Funktion g(x)=-y verläuft allerdings für große y gegen [mm] -\infty
[/mm]
daher könnte ich mir den Grenzwert auch so nicht erklären. und g(x) ist ja auch leider keine beschränkte Teilfolge
LG
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Hey
> [mm]\frac{y}{e^y}=\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}[/mm]
im Nenner ist ja jetzt die konvergente Reihe der e-Funktion. Im Zähler stehtv g(y)=y und y ist ja gleichzeitig ein Teil der Partialsummenfolge der Exponentialreihe. Bringt mit das in diesem Zusammenhang was?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 So 26.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hey
> >
> [mm]\frac{y}{e^y}=\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}[/mm]
>
> im Nenner ist ja jetzt die konvergente Reihe der
> e-Funktion. Im Zähler stehtv g(y)=y und y ist ja
> gleichzeitig ein Teil der Partialsummenfolge der
> Exponentialreihe. Bringt mit das in diesem Zusammenhang
> was?
Ja.
Dein Ziel ist doch folgendes zu zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=0
[/mm]
Wir haben äquivalent, mit der Substitution [mm] x:=e^{-y}, [/mm] umgeformt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=-\limes_{y\rightarrow\infty}\frac{y}{e^y}=-\limes_{y\rightarrow\infty}\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}
[/mm]
Also ist zu zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}=0
[/mm]
Wir wollen nun den Grenzwert erhalten für $y$ gegen [mm] \infty.
[/mm]
Da wir einen Bruch haben liegt die Idee nahe den Bruch zu vergrößern.
Einen Bruch kann man vergrößern, in dem man den Nenner verkleinert!
Es gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}=\frac{y^0}{0!}+\frac{y^1}{1!}+\frac{y^2}{2!}+\ldots>\frac{y^2}{2!}=\frac{y^2}{2}
[/mm]
Damit folgt:
[mm] \frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}<\frac{y}{\frac{y^2}{2}}=\frac{2}{y}\longrightarrow 0,y\to\infty.
[/mm]
Alles klar?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 So 26.01.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
vielen Dank! du hast mir sehr weitergeholfen
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
