Stetigkeit auf abg. Intervall < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Do 17.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Die reellwertigen Funktionen f und g seien auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig. Weiter gelte, dass f(x)=g(x) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \cap \IQ.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann f und g auf [mm] \iR [/mm] identisch sind. |
Hallo,
ich habe hier leider bisher noch keine Idee, wie ich anfangen soll.
Ich weiß, dass die 2 Funktionen stetig sind und ihre Bilder identisch sind.
Dabei sind alle x aus dem Intervall alle Zahlen außer der irrationalen,oder?
Aber was muss ich genau machen, um identisch zu zeigen?
lG, Ferolei
|
|
| |
|
[mm]\mathbb{Q}[/mm] liegt dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm], jede reelle Zahl läßt sich also beliebig gut durch rationale Zahlen approximieren. Oder anders gesagt: Zu jeder reellen Zahl [mm]x[/mm] gibt es eine Folge [mm]\left( \xi_{\nu} \right)[/mm] rationaler Zahlen mit [mm]\xi_{\nu} \to x[/mm] für [mm]\nu \to \infty[/mm].
Wähle daher zu [mm]x \in [a,b][/mm] eine Folge [mm]\left( \xi_{\nu} \right)[/mm] rationaler Zahlen in [mm][a,b][/mm], die gegen [mm]x[/mm] konvergiert. Nutze jetzt die Gleichheit von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] auf den [mm]\xi_{\nu}[/mm] und die Stetigkeit der beiden Funktionen aus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo, hier meine Idee dazu:
Eine irrationale Zahl ist eine Folge von rationalen Zahlen mit einem Grenzwert x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] , oder?
Dann sei [mm] x\in [/mm] [a,b] eine irrationale Zahl und [mm] r_n [/mm] eine Folge rationaler Zahlen.Wegen der Stetigkeit von f und g gilt dann:
[mm] f(r_n) \to [/mm] x und [mm] g(r_n) \to [/mm] x
Folglich ist [mm] f(r_n)=g(r_n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und f(x)=g(x)....
Also sind g und f auf [mm] \IR [/mm] identisch.
Kann man das so machen,oder fehlt irgendwie noch ein entscheidender Schritt?
lG, Ferolei
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mo 21.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, hier meine Idee dazu:
>
> Eine irrationale Zahl ist eine Folge von rationalen Zahlen
> mit einem Grenzwert x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] , oder?
Nein. eine irrationale Zahl ist eine Zahl x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm]
>
> Dann sei [mm]x\in[/mm] [a,b] eine irrationale Zahl und [mm]r_n[/mm] eine
> Folge rationaler Zahlen.
... mit [mm] r_n \to [/mm] x
> Wegen der Stetigkeit von f und g
> gilt dann:
> [mm]f(r_n) \to[/mm] x und [mm]g(r_n) \to[/mm] x
Nein ! Es gilt dann
[mm]f(r_n) \to[/mm] f(x) und [mm]g(r_n) \to[/mm] g(x)
> Folglich ist [mm]f(r_n)=g(r_n)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Quatsch ! Nach Voraussetzung ist [mm]f(r_n)=g(r_n)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> f(x)=g(x)....
Folglich: f(x)=g(x)
> Also sind g und f auf [mm]\IR[/mm] identisch.
>
> Kann man das so machen,oder fehlt irgendwie noch ein
> entscheidender Schritt?
Siehe oben
FRED
>
> lG, Ferolei
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
> > Hallo, hier meine Idee dazu:
> >
> > Eine irrationale Zahl ist eine Folge von rationalen Zahlen
> > mit einem Grenzwert x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] , oder?
>
> Nein. eine irrationale Zahl ist eine Zahl x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm]
>
>
Ja das auch, aber das wurde uns so gesagt, dass sei eine äquivalente Aussage zu [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR
[/mm]
> >
> > Dann sei [mm]x\in[/mm] [a,b] eine irrationale Zahl und [mm]r_n[/mm] eine
> > Folge rationaler Zahlen.
>
> ... mit [mm]r_n \to[/mm] x
>
> > Wegen der Stetigkeit von f und g
> > gilt dann:
> > [mm]f(r_n) \to[/mm] x und [mm]g(r_n) \to[/mm] x
>
> Nein ! Es gilt dann
>
> [mm]f(r_n) \to[/mm] f(x) und [mm]g(r_n) \to[/mm] g(x)
Sorry, das ist natürlich quatsch, was ich da hatte ! Schreibfehler
>
> > Folglich ist [mm]f(r_n)=g(r_n)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Quatsch ! Nach Voraussetzung ist [mm]f(r_n)=g(r_n)[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm]
>
>
>
> > f(x)=g(x)....
>
> Folglich: f(x)=g(x)
>
>
>
> > Also sind g und f auf [mm]\IR[/mm] identisch.
> >
> > Kann man das so machen,oder fehlt irgendwie noch ein
> > entscheidender Schritt?
>
> Siehe oben
>
Dank dir !
> FRED
> >
> > lG, Ferolei
|
|
|
|
