Stetigkeit Supremumfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: f: [mm] \IR^n \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] sup [mm] (x_{1},...,x_{n}) [/mm] ist stetig. |
Hallo,
kann mir jemand bitte bei der Aufgabe helfen?
Ansatz:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 fixiert, x = [mm] (x_{1},...,x_{n}) [/mm] fixiert. Wir wählen [mm] \delta [/mm] = ??? Dann gilt:
[mm] \parallel [/mm] f(x)-f(y) [mm] \parallel [/mm] =| sup [mm] (x_{1},...,x_{n}) [/mm] - sup [mm] (y_{1},...,y_{n}) |\le [/mm] ???
Ich komm einfach nicht weiter :(|
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: f: [mm]\IR^n \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] sup
> [mm](x_{1},...,x_{n})[/mm] ist stetig.
> Hallo,
>
> kann mir jemand bitte bei der Aufgabe helfen?
>
> Ansatz:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 fixiert, x = [mm](x_{1},...,x_{n})[/mm] fixiert.
> Wir wählen [mm]\delta[/mm] = ??? Dann gilt:
>
> [mm]\parallel[/mm] f(x)-f(y) [mm]\parallel[/mm] =| sup [mm](x_{1},...,x_{n})[/mm] -
> sup [mm](y_{1},...,y_{n}) |\le[/mm] ???
>
> Ich komm einfach nicht weiter :(|
ich würde das gar nicht so elementar rechnen. (Das geht auch, wenn's sein muss,
denke ich nochmal drüber nach!)
Sondern:
Offenbar gilt erstmal sicherlich:
[mm] $$f(x)=\max\{x_1,...,x_n\}\,.$$
[/mm]
Klar ist, dass [mm] $f\,$ [/mm] bzgl. [mm] $n=1\,$ [/mm] stetig ist. Für [mm] $n=2\,$ [/mm] wiederum gilt (notfalls beweise
das durch Fallunterscheidungen: 1. Fall: [mm] $x_1 \ge x_2\,,$ [/mm] 2. Fall: [mm] $x_1 \le x_2$...)
[/mm]
[mm] $$f(x_1,x_2)=\frac{x_1+x_2+|x_2-x_1|}{2}\,,$$
[/mm]
also ist dann [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere stetig (Verknüpfung stetiger Funktionen:
Addition, Betrag,...)
Und jetzt folgerst Du den Rest per Induktionsbeweis.
P.S.
Was ich oben nur ausgenutzt habe, ist, dass das Supremum einer Menge von
endlichen vielen reellen Zahlen gleich dem Maximum der Menge dieser Zahlen ist!
Gruß,
Marcel
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Sorry das ich erst so spät Antworte und danke für deine Hilfe :). Ich brauch auch keine Elementare Lösung, deine ist doch schön.
Ok. Dann will ich mich mal an der Induktion versuchen :).
Beh: [mm] f(x_{1}, [/mm] ... [mm] x_{n}) [/mm] = max { [mm] x_{1} [/mm] , max { ...,max{ [mm] x_{n-1},x_{n} [/mm] } ... }}
IA: Hast du bereits erledigt.
IV: Die Beh sei für n-1 bereits bewiesen.
IS: [mm] f(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] = max { [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} [/mm] } **(IV)** = max { max { [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n-1} [/mm] }, [mm] x_{n} [/mm] }
Da die Fkt. max stetig ist (als Verknüpfung stetiger Fkt.) ist auch f stetig (ebenfalls als verknüpfung stetiger Fkt.).
Ist das so ok oder hattest du dir das anders gedacht? Gruß Carl.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry das ich erst so spät Antworte und danke für deine
> Hilfe :). Ich brauch auch keine Elementare Lösung, deine
> ist doch schön.
okay. Denn ich denke, dass man da ein wenig kniffeln muss
(wenn man mal bei mir reinguckt, scheint ja schon die Stetigkeit
der Betragsfunktion eine Rolle zu spielen. Diese beweist man durch
die sogenannte "umgekehrte Dreiecksungleichung".)
> Ok. Dann will ich mich mal an der Induktion versuchen :).
>
> Beh: [mm]f(x_{1}, ... x_{n})[/mm] = [mm]max \{ x_{1} , max \{ ...,max\{ x_{n-1},x_{n}\}\}... \}[/mm]
>
> IA: Hast du bereits erledigt.
Schreibe dazu, dass er insbesondere für [mm] $n=2\,$ [/mm] gemacht wurde!
Sei nun also $n [mm] \ge [/mm] 3$ eine natürliche Zahl!
> IV: Die Beh sei für n-1 bereits bewiesen.
> IS: [mm]f(x_{1}, ..., x_{n}) = max \{ x_{1}, ..., x_{n}\}
**(IV)** = max \{ max \{ x_{1}, ..., x_{n-1} \},x_{n}\}[/mm]
> Da die Fkt. max stetig ist (als Verknüpfung stetiger Fkt.)
> ist auch f stetig (ebenfalls als verknüpfung stetiger
> Fkt.).
>
> Ist das so ok oder hattest du dir das anders gedacht? Gruß
> Carl.
Naja, also mir müßtest Du nochmal erklären, wie Du da die einzelnen
Schritte begründest. Ich mach's nun mal ein wenig anders:
Es sei schon o.E. $n [mm] \ge 3\,,$ [/mm] der Rest wurde ja schon erledigt.
Es sei [mm] $(x_n)_n \in \IR^{\IN}$ [/mm] beliebig. Weiter setzen wir
[mm] $$f_n: \IR^n \to \IR,\;\;x \mapsto f_n(x):=\max\{x_1,...,x_n\}\,.$$
[/mm]
Die Stetigkeit von [mm] $f_1\,$ [/mm] bzw. [mm] $f_2$ [/mm] wurde ja schon begründet.
(Mit obiger Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] hätten wir sie an der Stelle
[mm] $(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] (meinetwegen kannst Du die Stelle auch als
Spaltenvektor schreiben) begründet, und weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und damit auch
[mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] beliebig sind, an allen Stellen!)
Nun gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;f_n(x)=\max\{x_1,...,x_n\}\;\red{=}\;\max\{\max\{x_1,...,x_{n-1}\},x_n\}\,.$$
[/mm]
Das kann man induktiv beweisen, oder man macht es so:
Für $A [mm] \subseteq [/mm] B$ [mm] ($B\,$ [/mm] sei eine endliche Menge reeller Zahlen) ist
sicherlich [mm] $\max [/mm] A [mm] \le \max B\,.$
[/mm]
Daraus folgt, dass für Teilmengen [mm] $A_1,...,A_k \subseteq [/mm] B$ auch gelten
muss [mm] $\max\{\max A_1,...,\max A_k\} \le \max B\,.$ [/mm] (Klar?)
Setze [mm] $A':=\{x_1,...,x_{n-1}\}$ [/mm] und [mm] $A'':=\{x_n\}\,.$ [/mm] Dann folgt mit
$A:=A' [mm] \cup [/mm] A''$ oben in [mm] $(\*)$ [/mm] sofort die Beziehung [mm] $\;\red{\ge}\;.$
[/mm]
Jetzt nehmen wir an, es würde [mm] $>\,$ [/mm] gelten. Durch minimale Überlegungen
sieht man dann auch sofort, dass das immer zu einem Widerspruch führt:
1. Fall: Das Maximum linkerhand von [mm] $\;\red{=}\;$ [/mm] sei [mm] $x_n\,.$ [/mm] Dann ist aber
[mm] $x_n \ge x_k$ [/mm] für alle [mm] $k=1\,...,n\,.$ [/mm] Insbesondere ist [mm] $x_n \ge \max\{x_1,...,x_{n-1}\}$ [/mm] und natürlich [mm] $x_n \ge x_n\,,$ [/mm] also ist es auch das Maximum rechterhand.
2. Fall: Sei das Maximum linkerhand von [mm] $\;\red{=}\;$ [/mm] durch [mm] $x_j$ [/mm] ($0 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n-1$)
gegeben. Dann ist insbesondere [mm] $x_j \ge x_n$ [/mm] und es ist [mm] $x_j \ge x_k$ [/mm]
für [mm] $k=0,...,n-1\,.$ [/mm] O.E. sei [mm] $x_j [/mm] > [mm] x_n\,.$ [/mm] (Sonst sind wir ja
wieder im 1. Fall.) Dann ...
Damit ist dann [mm] $(\*)$ [/mm] bewiesen. Wegen [mm] $(\*)$ [/mm] folgt aber
[mm] $$f_n(x_1,...,x_n)=f_2(\;\Big(f_{n-1}(x_1,...,x_{n-1}),x_n\Big)\;)\,.$$
[/mm]
Also wenn ich das gerade richtig sehe, benutze ich in meinem Beweis
auch die Stetigkeit der Projektionen neben der von [mm] $f_{n-1}$ [/mm] und [mm] $f_2\,.$
[/mm]
Jetzt frage ich mich nur gerade selbst, ob ich da vielleicht zu kompliziert
denke ^^
(Vielleicht liest das ja nochmal jemand gegen und sagt was dazu -
insbesondere, ob und wenn ja: Wie's auch ohne Projektionen geht!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Di 04.09.2012 | | Autor: | FroschQuak |
Wow, vielen danke für diese sehr ausführliche Lösung. Die Schritte sind alle verständlich und mir scheint es, das alles bis ins Detail geklärt ist.
Gruß Carl.
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