Stetigkeit/Sprunghöhe < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 10.01.2008 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine monoton wachsende Funktion, d.h. x < y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(y). Für [mm] x_0 \in \IR [/mm] definieren wir die Sprunghöhe von f an der Stelle [mm] x_0:
[/mm]
[mm] H(x_0) [/mm] = inf [mm] \{ f(x) : x > x_0 \} [/mm] - sup [mm] \{ f(x) : x < x_0 \}.
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) f ist stetig in [mm] x_0 [/mm] g.d.w [mm] H(x_0) [/mm] = 0 |
Hi,
Also ich habe jetzt für die eine Richtung:
Sei [mm] H(x_0) [/mm] = 0: dann ist inf [mm] \{ f(x) : x > x_0 \} [/mm] = sup [mm] \{ f(x) : x < x_0 \}
[/mm]
Setzte: inf [mm] \{ f(x) : x > x_0 \} [/mm] = [mm] f(x_1)
[/mm]
sup [mm] \{ f(x) : x < x_0 \} [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
Dann ist [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] also auch [mm] \parallel f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2) \parallel [/mm] = 0 < [mm] \varepsilon
[/mm]
Da [mm] f(x_1) \ge f(x_0) \ge f(x_2) [/mm] und [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] gilt wegen der Monotonie auch [mm] \parallel f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_0) \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] bzw. [mm] \parallel f(x_2) [/mm] - [mm] f(x_0) \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Mein Problem ist jetzt die andere Richtung:
Sei also f stetig in [mm] x_0:
[/mm]
Dann ist [mm] f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_0) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \parallel f(x_2) [/mm] - [mm] f(x_0) \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt darauf, dass [mm] f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2) [/mm] = 0??
Denn das muss ich doch zeigen, oder??
Vielen Dank
Gruß Smex
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> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine monoton wachsende Funktion, d.h. x
> < y [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\le[/mm] f(y). Für [mm]x_0 \in \IR[/mm] definieren
> wir die Sprunghöhe von f an der Stelle [mm]x_0:[/mm]
>
> [mm]H(x_0)[/mm] = inf [mm]\{ f(x) : x > x_0 \}[/mm] - sup [mm]\{ f(x) : x < x_0 \}.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> (a) f ist stetig in [mm]x_0[/mm] g.d.w [mm]H(x_0)[/mm] = 0
> Hi,
>
> Also ich habe jetzt für die eine Richtung:
>
> Sei [mm]H(x_0)[/mm] = 0: dann ist inf [mm]\{ f(x) : x > x_0 \}[/mm] = sup [mm]\{ f(x) : x < x_0 \}[/mm]
>
> Setzte: inf [mm]\{ f(x) : x > x_0 \}[/mm] = [mm]f(x_1)[/mm]
>
> sup [mm]\{ f(x) : x < x_0 \}[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
Warum kannst Du annehmen, dass das Infimum bzw. Supremum gleich einem Funktionswert von $f$ ist?
Ich denke, Du musst die Bestimmung von [mm] $x_1$ [/mm] bzw. [mm] $x_2$ [/mm] auf andere Weise formulieren. Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] gegeben. Aufgrund der Definition von [mm] $\inf\{f(x):x>x_0\}$ [/mm] existiert ein [mm] $x_1>x_0$, [/mm] so dass [mm] $f(x_1)<\inf\{f(x):x>x_0\}+\varepsilon$.
[/mm]
Genauso gibt es ein [mm] $x_2
Daraus müsste man nun, unter Verwendung der Monotonie von $f$, ein [mm] $\delta [/mm] >0$ bestimmen, so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.
[/mm]
>
> Dann ist [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm] also auch [mm]\parallel f(x_1)[/mm] -
> [mm]f(x_2) \parallel[/mm] = 0 < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Da [mm]f(x_1) \ge f(x_0) \ge f(x_2)[/mm] und [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm] gilt
> wegen der Monotonie auch [mm]\parallel f(x_1)[/mm] - [mm]f(x_0) \parallel[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm] bzw. [mm]\parallel f(x_2)[/mm] - [mm]f(x_0) \parallel[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
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> Mein Problem ist jetzt die andere Richtung:
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> Sei also f stetig in [mm]x_0:[/mm]
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> Dann ist [mm]f(x_1)[/mm] - [mm]f(x_0)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\parallel f(x_2)[/mm]
> - [mm]f(x_0) \parallel[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
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> Aber wie komme ich jetzt darauf, dass [mm]f(x_1)[/mm] - [mm]f(x_2)[/mm] =
> 0??
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> Denn das muss ich doch zeigen, oder??
Etwas in dieser Art. Es genügt aber zu zeigen, dass für gegebenes [mm] $x_0$ [/mm] und alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] folgt, dass [mm] $0\leq\inf\{f(x):x>x_0\}-\sup\{f(x):x
Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] gibt es also ein [mm] $\delta [/mm] >0$, so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$. [/mm] Mit der Monotonie von $f$ erhält man daraus, dass
[mm]0\leq\inf\{f(x):x>x_0\}-\sup\{f(x):x
was zu zeigen war.
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