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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Sa 12.03.2005 | | Autor: | f0rst |
Wie prüfe ich ob die Funktion
f(x)=[x] (gaußsche Klammerfunktion)
stetig ist oder nicht. Laut Definition ist sie nicht stetig und somit auch nicht diff'bar, aber ich würde gerne die
Rechnungen für Stetigkeit und Diff'barkeit wissen.
Ich habe es schon probiert mit lim x--> x0: f(x) = f(x0) aber das haut ja irgendwie nicht hin, oder seh ich das falsch. Nach meinen Rechnungen wär sie stetig.
Ich Bitte um Hilfe
mfg f0rst
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, fürst (von und zu ...)
die Frage ist natürlich unvollständig gestellt, denn die Funktion ist fast überall stetig und differenzierbar, außer für ganzzahlige Werte von x.
Wahrscheinlich geht's Dir aber genau um diese letzteren!?
Ich schreib' die Funktion oder genauer einen "Ausschnitt" mal etwas anders:
f(x) = [mm] \begin{cases} ... \\ 0, & \mbox{für} 0 \le x < 1 \\ 1, & \mbox{für} 1 \le x < 2 \\ 2, & \mbox{für} 2 \le x < 3 \\ ... \end{cases}
[/mm]
So: Nun schau' Dir z.B. die Stelle x=1 an.
Grenzwert von links: f(x) [mm] \to [/mm] 0;
Grenzwert von rechts: f(x) [mm] \to [/mm] 1;
Funktionswert: f(1)=1
Also: Nicht dreimal dasselbe Ergebnis; demnach: unstetig bei x=1.
Voila!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 06.04.2005 | | Autor: | f0rst |
Wie siehts dann mit der Differenzierbarkeit aus? ich weiß zwar, dass eine unstetige funktion nicht differenzierbar ist, in dieser STelle, aber f'(x) ist doch dann bei den teilfunktionen immer 0, also stimmt es dann doch wieder überein, wenn ich die diffbarkeit untersuche oder?
kann mir jemand bitte helfen?
mfg f0rst
danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo f0rst!
> Wie siehts dann mit der Differenzierbarkeit aus? ich weiß
> zwar, dass eine unstetige funktion nicht differenzierbar
> ist, in dieser STelle, aber f'(x) ist doch dann bei den
> teilfunktionen immer 0, also stimmt es dann doch wieder
> überein, wenn ich die diffbarkeit untersuche oder?
> kann mir jemand bitte helfen?
Das ist jetzt leider ein Trugschluß!
Die Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] setzt nunmal die Stetigkeit an dieser Stelle voraus.
Du erhältst zwar für die Ableitung (rechnerisch) eine "Gerade", die auf der x-Achse liegt, jedoch hat diese "Gerade" unendlich viele Definitionslücken ... nämlich genau bei den ganzen Zahlen - unseren Unstetigkeitsstellen!
Anschaulich formuliert kannst Du ja an diesen kritischen Stellen keine eindeutige (!!) Tangente an die entsprechenden Punkte anlegen.
Daher ist die Funktion an diesen Punkten auch nicht differenzierbar.
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Mi 06.04.2005 | | Autor: | f0rst |
Sowas hab ich mir schon gedacht, aber es ist echt cool, dass du dir die Mühe gemacht hast.
mfg f0rst
Großes Dankeschön von mir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mo 11.04.2005 | | Autor: | f0rst |
Bei einer Quadratíschen Funktion wie f(x)=x² ist der rechts- und linksseitige Grenzwert doch auch x², oder lieg ich damit falsch?
Danke für eine schnelle Antwort
mfg f0rst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo fürst!
Es ist etwas unklar, was du hier meinst, aber jedenfalls gilt für alle [mm] $x_0 \in \IR$:
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{x \downarrow x_0} x^2=x_0^2 [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \uparrow x_0} x^2$,
[/mm]
d.h. der rechts- und linksseitige Grenzwert stimmen überein. Die Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ist somit an jeder Stelle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] stetig.
Viele Grüße
Julius
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