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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 11.10.2005 | | Autor: | der_puma |
hi,
hab mal ein paar fragen zur sache "stetigkeit"
also wir hatten gesagt ,dass eine funktion f genau dannn stetig an einer stelle [mm] x_0 [/mm] heisst,wenn li- [mm] \limes_{x \to \x_0}f(x)=re- \limes_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)
[/mm]
der linksseitige limes ist [mm] \limes_{x \to \x_0}=\limes_{n \to \unendlich}f(x_0-\bruch{1}{n} [/mm] )
und der rechtsseitige [mm] \limes_{x \to \x_0}=\limes_{n \to \unendlich}f(x_0+\bruch{1}{n} [/mm] )
nun hab ich hier schon mal meien ersten fragen: was hat das mit der "stelle [mm] x_0" [/mm] auf sich ? warum kann man keien andere nehmen? und zweitens:was heisst das überhaupt "links-und rechtsseitiger" limes?
nun ein beispiel:
[mm] f(x)\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)} [/mm]
nun wurde hier ja faktorisiert und das is mir auch klar,aber wie komm ich denn auf darauf dass das so läuft?
nund diese funktion hat ja die definitionslücken un polstellen -2 und -1
diese kann man mit der definitionslücken mit
[mm] g(x)=\bruch{x-1}{x+1} [/mm] behebne
diese hat nur noch die definitionslücke -1
nun kann man heruasfinden dass dieser graph g(x) also asympotote y=1 hat ,ist aber auch wenn man den graphen f(x) zeichnet -2 asymptote?
und nun noch mal auf die links-und rechtsseitigen grenzwerte
[mm] \limes_{n \to \unendlich}f(x_0+\bruch{1}{n} [/mm] )
von der funktion [mm] f(x)\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)} [/mm] ausgehend sollten wir da jetzt irgendwie -2 einseiten einsetzen sodass man dann hat
[mm] \limes_{n \to \unendlich}\bruch{(-2+\bruch{1}{n})²+(-2+\bruch{1}{n})-2 }{(-2+\bruch{1}{n})+3(-2+\bruch{1}{n})+2 } [/mm]
wenn ich das dann ausrechne kommt bei mir 0 raus,is das richtig? bzw was bringt mir dieser links-und rechtsseitige grenzwert überhaupt ?
danke danke
hoffe mir kann einer helfen
christopher
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Hallo Christopher,
kennst du schon unsere  MatheBank? ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") stetig oder ![[]](/images/popup.gif) hier
> hab mal ein paar fragen zur sache "stetigkeit"
>
> also wir hatten gesagt ,dass eine funktion f genau dannn
> stetig an einer stelle [mm]x_0[/mm] heisst,wenn li- [mm]\limes_{x \to \x_0}f(x)=re- \limes_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)[/mm]
>
>
> der linksseitige limes ist [mm]\limes_{x \to \x_0}=\limes_{n \to \unendlich}f(x_0-\bruch{1}{n}[/mm]
> )
>
> und der rechtsseitige [mm]\limes_{x \to \x_0}=\limes_{n \to \unendlich}f(x_0+\bruch{1}{n}[/mm]
> )
>
> nun hab ich hier schon mal meien ersten fragen: was hat das
> mit der "stelle [mm]x_0"[/mm] auf sich ? warum kann man keien andere
> nehmen?
[mm] x_0 [/mm] steht lediglich für "irgendeine Stelle im Definitionsbereich".
Man kann sie nicht "x" nennen, weil ja $x [mm] \rightarrow x_0$ [/mm] besagt, dass x gegen dieses feste [mm] x_0 [/mm] wandern soll.
> und zweitens:was heisst das überhaupt "links-und
> rechtsseitiger" limes?
Diese Wanderung kann nun "von links" oder "von rechts" erfolgen, je nachdem, ob x < [mm] x_0 [/mm] oder x > [mm] x_0 [/mm] gilt.
Und nur dann, wenn die beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion an dieser Stelle stetig.
siehe auch das Bildchen in der Wikipedia.
>
>
> nun ein beispiel:
> [mm]f(x)\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)}[/mm]
>
> nun wurde hier ja faktorisiert und das is mir auch
> klar,aber wie komm ich denn auf darauf dass das so läuft?
Das Faktorisieren ist nützlich, um die Nullstellen des Nenners bzw. Zählers schnell ablesen zu können, dabei erkennst du gleich, dass im Zähler und im Nenner ein Faktor gleich ist, den man immer dann kürzen kann, wenn (x+2) [mm] \ne [/mm] 0 gilt.
>
> und diese funktion hat ja die definitionslücken und
> polstellen -2 und -1
Da fangen jetzt aber die Unterschiede an:
x = -2 ist eine "hebbare" Lücke, weil man für x [mm] \ne [/mm] -2 durch den Faktor kürzen kann:
>
> diese kann man mit der definitionslücken mit
> [mm]g(x)=\bruch{x-1}{x+1}[/mm] behebne
> diese hat nur noch die definitionslücke -1
Diese beiden Funktionen stimmen also an allen Stellen überein - außer für x = -2.
> nun kann man heruasfinden dass dieser graph g(x) also
> asympotote y=1 hat ,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") auch f(x) hat folglich diese Asymptote (<-- click it) .
Aber diese Überlegungen haben nichts mit der Stetigkeit der Funktion zu tun, sondern sind das Ergebnis der Überlegung, was passiert mit den Funktionswerten, wenn x [mm] \rightarrow \infty [/mm] geht.
> ist aber auch, wenn man den graphen f(x) zeichnet, -2 asymptote?
nein, warum sollte sie? Denn x=-2 ist die Definitionslücke, das hat nichts mit der Asymptote zu tun.
>
> und nun noch mal auf die links-und rechtsseitigen
> grenzwerte
> [mm]\limes_{n \to \infty}f(x_0+\bruch{1}{n}[/mm] )
> von der funktion [mm]f(x)\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)}[/mm]
> ausgehend sollten wir da jetzt irgendwie -2 einseiten
> einsetzen sodass man dann hat
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{(-2+\bruch{1}{n})²+(-2+\bruch{1}{n})-2 }{(-2+\bruch{1}{n})+3(-2+\bruch{1}{n})+2 } = \limes_{n \to \infty} \bruch{(-2+\bruch{1}{n}+2)(-2+\bruch{1}{n}-1)}{(-2+\bruch{1}{n}+2)(-2+\bruch{1}{n}+1)} [/mm]
Du setzt also [mm] x_0=-2 [/mm] ein und beobachtest, was passiert, wenn sich die Funktionswerte der kritischen Stelle [mm] x_0 [/mm] = -2 nähern:
es passiert "nichts", weil du ja auch hier durch [mm] (-2+\bruch{1}{n}+2) [/mm] kürzen kannst.
übrig bleibt:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{(-2+\bruch{1}{n}-1)}{(-2+\bruch{1}{n}+1)} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{-1}$ [/mm] als Funktionswert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = -2: die Funktion lässt sich also "stetig fortsetzen", eine andere Beschreibung, dass x=-2 eine hebbare Lücke ist.
> wenn ich das dann ausrechne kommt bei mir 0 raus,is das
> richtig?
klar: im Zähler und im Nenner steht ein Term, der zu null wird, wenn n [mm] \to \infty [/mm] geht.
Und damit ist nichts gewonnen, denn [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] ist nicht definiert.
> bzw was bringt mir dieser links-und rechtsseitige
> grenzwert überhaupt ?
Damit prüfst du auf hebbare Definitionslücken bei einer Funktion bzw. auf Stetigkeit überall dort, wo die Funktion definiert ist.
Meine Erklärungsversuche haben sich ein wenig an deinem "Chaos" in den Fragen orientiert - ich hoffe, du kannst ihnen folgen.
Unterscheide:
1. Prüfung auf Stetigkeit und Definitionslücken
2. Verhalten für n [mm] \to \infty \Rightarrow [/mm] Asymptoten
sonst frage einfach weiter ...
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 11.10.2005 | | Autor: | der_puma |
hi,
danke schonma das hat mir schonma sehr geholfen
nur noch eins...
> > nun ein beispiel:
> > [mm]f(x)\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)}[/mm]
> >
> > nun wurde hier ja faktorisiert und das is mir auch
> > klar,aber wie komm ich denn auf darauf dass das so läuft?
> Das Faktorisieren ist nützlich, um die Nullstellen des
> Nenners bzw. Zählers schnell ablesen zu können, dabei
> erkennst du gleich, dass im Zähler und im Nenner ein Faktor
> gleich ist, den man immer dann kürzen kann, wenn (x+2) [mm]\ne[/mm]
> 0 gilt.
ja das is ja kein problem,ich mein ob es da vielleicht ein trick gibt mit dem man heruasfinden kann wie man faktorisert ? also wie kommt man da draius dass
[mm]f(x)\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)}[/mm]
> Du setzt also [mm]x_0=-2[/mm] ein und beobachtest, was passiert,
> wenn sich die Funktionswerte der kritischen Stelle [mm]x_0[/mm] = -2
> nähern:
> es passiert "nichts", weil du ja auch hier durch
> [mm](-2+\bruch{1}{n}+2)[/mm] kürzen kannst.
> übrig bleibt:
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(-2+\bruch{1}{n}-1)}{(-2+\bruch{1}{n}+1)} = \bruch{-3}{-1}[/mm]
wie kommt man denn da drua?also wo wird das eingesetzt ?
> als Funktionswert an der Stelle [mm]x_0[/mm] = -2: die Funktion
> lässt sich also "stetig fortsetzen", eine andere
> Beschreibung, dass x=-2 eine hebbare Lücke ist.
>
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hi,
>
> > > nun ein beispiel:
> > > [mm]f(x)\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)}[/mm]
> > >
> > > nun wurde hier ja faktorisiert und das is mir auch
> > > klar,aber wie komm ich denn auf darauf dass das so läuft?
> > Das Faktorisieren ist nützlich, um die Nullstellen des
> > Nenners bzw. Zählers schnell ablesen zu können, dabei
> > erkennst du gleich, dass im Zähler und im Nenner ein Faktor
> > gleich ist, den man immer dann kürzen kann, wenn (x+2) [mm]\ne[/mm]
> > 0 gilt.
> ja das is ja kein problem,ich mein ob es da vielleicht ein
> trick gibt mit dem man heruasfinden kann wie man
> faktorisert ? also wie kommt man da draius dass
> [mm]f(x)\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)}[/mm]
Im Zähler und im Nenner stehen doch "quasi-binomische" Ausdrücke, denen man mit dem Satz des Vieta zu Leibe rücken kann. Das ist reine Übungssache.
Wenn man es nicht gleich sieht, versucht man eine "Nullstelle" des Nenners zu finden und kontrolliert, ob auch der Zähler dort 0 wird.
Dann kann man beide durch (x - Nullstelle) teilen und hat die Faktorisierung.
>
> > Du setzt also [mm]x_0=-2[/mm] ein und beobachtest, was passiert,
> > wenn sich die Funktionswerte der kritischen Stelle [mm]x_0[/mm] = -2
> > nähern:
> > es passiert "nichts", weil du ja auch hier durch
> > [mm](-2+\bruch{1}{n}+2)[/mm] kürzen kannst.
> > übrig bleibt:
> > [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(-2+\bruch{1}{n}-1)}{(-2+\bruch{1}{n}+1)} = \bruch{-3}{-1}[/mm]
> wie kommt man denn da drua?also wo wird das eingesetzt ?
Du hast das doch selbst vorgeschlagen:
und nun noch mal auf die links-und rechtsseitigen grenzwerte
$ [mm] \limes_{n \to \unendlich}f(x_0+\bruch{1}{n} [/mm] $ ) hier setzen wir [mm] x_0= [/mm] -2 ein und rechnen:
von der funktion $ [mm] f(x)=\bruch{x²+x-2}{x²+3x+2} =\bruch{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)} [/mm] $ ausgehend sollten wir da jetzt irgendwie -2 einseiten einsetzen sodass man dann hat
[mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \unendlich}\bruch{(-2+\bruch{1}{n})²+(-2+\bruch{1}{n})-2 }{(-2+\bruch{1}{n})+3(-2+\bruch{1}{n})+2 } [/mm] $
Ich hatte dir dann gezeigt, dass man mit der faktorisierten Fassung der Funktion leichter rechnen kann, weil dann Zähler und Nenner nicht gleich 0 werden (= man kann vorher kürzen), und so den (links- und rechtsseitigen) Grenzwert bestimmen kann.
alles klaro?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Di 11.10.2005 | | Autor: | der_puma |
perfekt danke danke jetzt hab ich alles verstanden
gruß
christopher
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