Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Sa 20.06.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Wo sind die folgenden Funktionen stetig, wo unstetig?
[mm] a)f:\IR \to \IR [/mm] ,f(x)= [mm] 3-x^2
[/mm]
[mm] b)f:\IR \to \IR,f(x)=|x|
[/mm]
[mm] c))f:\IR \to \IR,f(x)=f(n)=\left\{\begin{matrix}
\bruch {|x|}{x} & \mbox{für }x\not=0\mbox{} \\
0, & \mbox{für }x=0\mbox{}
\end{matrix}\right.
[/mm]
[mm] d)f:\IR \to \IR,f(x)=\wurzel \bruch{x^4-x^2+1}{x^2+1}
[/mm]
[mm] e)f(n)=\left\{\begin{matrix}
\bruch {x^2-2x+1}{x-1}, & \mbox{für}x\not=1\mbox{ } \\
0, & \mbox{für }x=1\mbox{ }
\end{matrix}\right. [/mm] |
Hallo Ihr Lieben!
Wie erkenne ich an der Funktion , wo die stetig ist?
Danke
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Hiho,
welche Definitionen von Stetigkeiten hattest du denn bisher in der Vorlesung?
Was weisst du über die Verkettung von stetigen Funktionen und ein paar Beispiele für stetige Funktionen hattet ihr bestimmt auch.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 20.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Eine Funktion f(x) ist stetig in der Stelle x=a, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. f(a) ist definiert und [mm] \limes_{x \to \ a} [/mm] f(x) existiert sowie
2. [mm] f(a)=\limes_{x \to \ a} [/mm] f(x)
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Na dann prüfe deine Funktionen doch darauf.
Fang einfach mal an, wir helfen dir, wenn du nicht weiterkommst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 20.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Ich verstehe die ganze Defintion nicht... Könntest du mir ein paar Absätze zeigen, also wie man bei diesen Aufgaben vorgehen soll...???
Danke
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Nun gut,
genrell hattet ihr bestimmt schon, dass es einige "Grundfunktionen" gibt, die stetig sind.
Bspw. sind alle konstanten Funktionen stetig, also sowas wie [mm]f(x) = 3[/mm]. Alle Funktionen der Form [mm]f(x) = x^n, n\ge 0[/mm] sind stetig.
Und die Verkettung stetiger Funktionen sind stetig, d.h. mit f,g stetig sind auch f+g,f-g,f*g, [mm] \bruch{f}{g}, g(x)\not=0 [/mm] stetig und [mm] f\circ [/mm] g stetig.
Das sind garantiert alles Dinge, die ihr bereits gezeigt habt, insofern verwende ich sie einfach mal und mach dir ein Beispiel:
Frage: Ist folgende Funktion stetig?
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 1, & \mbox{für }x=0 \end{cases}[/mm]
Antwort: Für alle [mm] x\not= [/mm] 0 ist sie es bestimmt, da dort die Funktionen [mm] x^2 [/mm] und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] stetig sind und damit auch [mm] x^2 *\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{x}.
[/mm]
Ist sie aber auch in 0 stetig? Dafür überprüfen wir dein Kriterium doch mal:
1.) Ist f(0) definiert? Ja, denn f(0) = 1.
2.) Existiert [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x) [/mm] ? Rechnen wir doch mal nach:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2}{x} [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x [/mm] = 0
Antwort: Ja, er existiert.
Gilt [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x) [/mm] = f(a)? Nein, denn:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] = 0 ABER f(0) = 1.
Damit ist f für alle [mm] x\not=0 [/mm] stetig, aber nicht für x=0.
Also ist f generell nicht stetig.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 22.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Hallo nochmal!
Für a) würde ich sagen, die Fkt ist überall stetig. Wi könnte ich das mathematisch ausdrücken??
Für b) Das ist ein Polynom. Diese sind immer stetig!
Für c) x [mm] \not= [/mm] 0 ist die Fkt. stetig, aber für x=0 ist die Funktion nicht stetig.Also ist die Fkt ist nicht stetig.
Für d) ???
Für e) die Fkt. x [mm] \not= [/mm] 1 ist die Fkt nicht stetig, für x = 1????
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Di 23.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo nochmal!
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> Für a) würde ich sagen, die Fkt ist überall stetig. Wi
> könnte ich das mathematisch ausdrücken??
Verwende: [mm] $f:\IR\rightarrow\IR$ [/mm] stetig im Punkt [mm] $a\in\IR$
[/mm]
[mm] $:\Longleftrightarrow\;\forall\,(a_n)_{n\in\IN}\subset\IR$ [/mm] mit [mm] $a_n\rightarrow [/mm] a$ für [mm] $n\to\infty$: $\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(a)$
[/mm]
Beweis: Sei [mm] $(a_n)_{n\in\IN}\subset\IR$ [/mm] eine beliebige Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=a$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(a_n)=\lim_{n\to\infty}3-a_n^2=3-a^2=f(a)$
[/mm]
Da [mm] $a\in\IR$ [/mm] beliebig gewäjlt war, ist $f$ folglich auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig.
Andere Möglichkeit: [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] als Polynom stetig in ganz [mm] $\IR$, [/mm] $h(x):=3$ als konstante Funktion stetig auf ganz [mm] $\IR$. [/mm] Dann gilt wegen der Addition zweier auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetiger Funktionen: $f(x)=h(x)-g(x)$ ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig.
> Für b) Das ist ein Polynom. Diese sind immer stetig!
Nein. Dort hast Du die Betragsfunktion. Deine Argumentation gilt nur für $x>0$ und $x<0$. Die Stetigkeit im Nullpunkt musst Du aber gewiss noch zeigen.
> Für c) x [mm]\not=[/mm] 0 ist die Fkt. stetig, aber für x=0 ist
> die Funktion nicht stetig.Also ist die Fkt ist nicht
> stetig.
Ja, aber warum?
> Für d) ???
Überlege mal! Tipp: Rechenregeln für stetig Funktionen. Zähler $g(x)$ ist stetig, Nenner $h(x)$ ist stetig und ungleich $0$, also ist [mm] $\frac{g}{h}(x)$ [/mm] stetig. Wurzel ist stetig, also ist [mm] $\sqrt{\frac{g}{h}(x)}$ [/mm] stetig (Komposition stetiger Funktionen). So ist der Ablauf. Beweisen sollst Du es aber.
> Für e) die Fkt. x [mm]\not=[/mm] 1 ist die Fkt nicht stetig, für x =
> 1????
Das ist falsch. Wenn Du uns eine Begründung lieferst, können wir Dir auch Deine Fehler aufzeigen.
> Danke
Gruß Denny
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