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Hallo,
ich habe die folgende Aufgabe:
Zeigen Sie, dass es kein [mm] \gamma \in \IR [/mm] gibt, für das die Funktion f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit
f(x,y)=
[mm] \bruch{xy}{x^4+y^2} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0)
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] für (x,y)=(0,0)
im Punkt (0,0) stetig ist.
Bemerkung: Überlege, dass es reicht 2 Folgen anzugeben mit
[mm] lim_{v->unendlich} a^{v}= lim_{v->unendlich} b^{v} [/mm] = (0,0) aber [mm] lim_{v->unendlich} f(a^{v})\not= lim_{v->unendlich} f(b^{v})
[/mm]
Mich überfordert die Aufgabe ein wenig :(
Ich habe mal willkürlich 2 FOlgen genommen: 1/v und [mm] 1/v^2, [/mm] also [mm] a^v=(1/v, [/mm] 1/v) und [mm] b^v=(1/v^2, 1/v^2) [/mm] und die sind ja gegen unendlich=0
Aber setze ich das nun in die Funktion ein, bekomme ich jeweils 1, damit hätte ich ja ein [mm] \gamma [/mm] gefunden und ich soll ja eben zeigen, dass dem nicht so ist.
Was mache ich nun?
Lieben Dank!
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Hallo Englein,
> Hallo,
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> ich habe die folgende Aufgabe:
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> Zeigen Sie, dass es kein [mm]\gamma \in \IR[/mm] gibt, für das die
> Funktion f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit
>
> f(x,y)=
> [mm]\bruch{xy}{x^4+y^2}[/mm] für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm]
> [mm]\gamma[/mm] für (x,y)=(0,0)
>
> im Punkt (0,0) stetig ist.
>
> Bemerkung: Überlege, dass es reicht 2 Folgen anzugeben mit
> [mm]lim_{v->unendlich} a^{v}= lim_{v->unendlich} b^{v}[/mm] = (0,0)
> aber [mm]lim_{v->unendlich} f(a^{v})\not= lim_{v->unendlich} f(b^{v})[/mm]
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> Mich überfordert die Aufgabe ein wenig :(
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> Ich habe mal willkürlich 2 FOlgen genommen: 1/v und [mm]1/v^2,[/mm]
> also [mm]a^v=(1/v,[/mm] 1/v) und [mm]b^v=(1/v^2, 1/v^2)[/mm] und die sind ja
> gegen unendlich=0
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> Aber setze ich das nun in die Funktion ein, bekomme ich
> jeweils 1, damit hätte ich ja ein [mm]\gamma[/mm] gefunden und ich
> soll ja eben zeigen, dass dem nicht so ist.
Nein, nein, dann müsste für jede Folge [mm] $a^n=(u_n,v_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a^n=(0,0)$ [/mm] doch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f\left(a^n\right)=1$ [/mm] sein
>
> Was mache ich nun?
Na, im Nenner stehen beides gerade Potenzen, da ist alles positiv, im Zähler steht aber $xy$, das legt es nahe, Folgen mit versch. Vorzeichen zu betrachtn
Nimm mal [mm] $a^n=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$ [/mm] und [mm] $b^n=\left(\frac{1}{n},\red{-}\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Nun du wieder 
>
> Lieben Dank!
LG
schachuzipus
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Danke.
Okay, dann bekomme ich 1 und -1.
Aber den Grund, weshalb ich diese Folgen nehmen sollte und nicht die anderen habe ich immernoch nicht so ganz nachvollziehen können, sorry :(
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Hallo nochmal,
> Danke.
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> Okay, dann bekomme ich 1 und -1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also ist das Vieh unstetig in $(0,0)$, man kann es nicht stetig fortsetzen
>
> Aber den Grund, weshalb ich diese Folgen nehmen sollte und
> nicht die anderen habe ich immernoch nicht so ganz
> nachvollziehen können, sorry :(
Naja, mit dem Hinweis darauf, dass die Funktion in $(0,0)$ unstetig ist, sucht man sich 2 möglichst einfache Beispielfolgen.
Meistens klappt das halt schon, wenn man einmal ein Quadrat oder einmal ein negatives Vorzeichen nimmt.
Ich habe mich direkt für die Variante mit dem negativen VZ entschieden, weil dabei im Nenner die Terme gleichbleiben, egal, ob ich da nun [mm] $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$ [/mm] oder [mm] $\left(\frac{1}{n},-\frac{1}{n}\right)$ [/mm] einsetze, wegen der geraden Potenzen halt
Und im Nenner bekommt man ja wegen der ungeraden Potenzen einmal [mm] $+\frac{1}{n^2}$, [/mm] einmal [mm] $-\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Das ist ein bisschen Erfahrungssache, je mehr von diesen Aufgaben du machst, desto schneller findest du auch "passende" Folgen
LG
schachuzipus
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