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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 So 13.01.2008 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Unstetigkeitsstellen. Von welcher Art sind sie ? Bestimmen Sie gegebenenfalls rechts- und linksseitige Grenzwerte.
f(x) = { [mm] x^2 [/mm] wenn x>-1
x+2 wenn [mm] x\le-1 [/mm] } |
Hallo !
Also ich bin mir nicht ganz sicher, wie man das lösen soll, habe es aber trotzdem versucht :
lim [mm] x^2 [/mm] = 1 = f(-1)=1 also darf ich behaupten, dass es rechtsstetig ist, richtig ?
x -> -1
x>-1
lim x+2 = 1 = f(-1)=1 also ist es linkstetig
x -> -1
[mm] x\le [/mm] -1
Ich glaube, dass es in der Definition heisst, dass wenn der Limes mit dem Funktionswert in einem Punkt übereinstimmt, dann kann man behaupten, dass die Funktion an dieser Stelle stetig ist. Also, da die Funktion beideseitigstetig ist, kann ich behaupten, dass es stetig ist und es keine Unstetigkeitstelle besitzt. Stimmt meine Überlegung ?
Vielen Dank !
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> Untersuchen Sie folgende Funktionen auf
> Unstetigkeitsstellen. Von welcher Art sind sie ? Bestimmen
> Sie gegebenenfalls rechts- und linksseitige Grenzwerte.
>
> [mm]f(x) = \begin{cases}x^2 &\text{wenn $x>-1$}\\x+2&\text{wenn $x\le -1$}\end{cases}[/mm]
> Hallo !
>
> Also ich bin mir nicht ganz sicher, wie man das lösen soll,
> habe es aber trotzdem versucht :
>
> lim [mm]x^2[/mm] = 1 = f(-1)=1 also darf ich
> behaupten, dass es rechtsstetig ist, richtig ?
> x -> -1
> x>-1
Du hast hier den linksseitigen Limes betrachtet. Wenn Du von links (also $x<-1$) kommst, stimmt die Funktion aber mit $x+2$ überein, nicht, wie Du hier angenommen hast, mit [mm] $x^2$. [/mm] Also müsstest Du so schliessen:
[mm]\lim_{x\rightarrow -1-}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1-}(x+2)=-1+2=1=f(-1)[/mm]
Dieses Ergebnis kann allerdings nicht erstaunen, denn von links kommend, bis und mit $x=-1$, stimmt $f$ ja mit der stetigen Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] x+2$ überein...
Aber selbst wenn Du dies richtig gemacht hättest: Du kannst strengenommen danach erst einmal nur von "linksseitiger Stetigkeit von $f$" sprechen: der linksseitige Limes [mm] $\lim_{x\rightarrow -1-}f(x)$ [/mm] existiert und stimmt mit dem Funktionswert an dieser Stelle $x=-1$ überein.
> lim x+2 = 1 = f(-1)=1 also ist es
> linkstetig
> x -> -1
> [mm]x\le[/mm] -1
Dies hier macht für mich keinen Sinn. Linksseitige Stetigkeit von $f$ hast Du schon gezeigt. Nun untersuche noch die rechtsseitige Stetigkeit. [mm] $\lim_{x\rightarrow -1+}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1+}x^2=(-1)^2=1=f(-1)$.
[/mm]
Also ist die Funktion $f$ auch rechtseitig stetig. Das heisst, zusammen mit der bereits gezeigten linksseitigen Stetigkeit: $f$ ist an der Stelle $x=-1$ stetig.
Es gibt keine Unstetigkeitsstellen von $f$, denn an allen anderen Stellen stimmt $f$ in einer hinreichend kleinen Umgebung entweder mit der stetigen Funktion [mm] $x^2$ [/mm] oder mit der stetigen Funktion $x+2$ überein. Ist dort also ebenfalls stetig.
> Ich glaube, dass es in der Definition heisst, dass wenn der
> Limes mit dem Funktionswert in einem Punkt übereinstimmt,
Ja, das wäre aber dann der beidseitige Limes. Man darf aber durchaus die beiden einseitigen Limites getrennt untersuchen: das war hier sogar eindeutig das sinnvollere Vorgehen, weil man so das Argument $f(x)$ des einseitigen Limes durch den Funktionsterm einer stetigen Funktion ersetzen konnte, wodurch die Bestimmung dieses Grenzwertes ganz einfach wurde.
Der beidseitige Limes (wenn man ihn denn unbedingt berechnen will) existiert genau dann, wenn die beidseitigen Limites existieren und denselben Wert haben:
[mm]\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=c\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0-}f(x)=c=\lim_{x\rightarrow x_0+}f(x)[/mm]
> dann kann man behaupten, dass die Funktion an dieser Stelle
> stetig ist. Also, da die Funktion beideseitigstetig ist,
> kann ich behaupten, dass es stetig ist und es keine
> Unstetigkeitstelle besitzt. Stimmt meine Überlegung ?
So in etwa. Weshalb andere Stellen als $x=-1$ als Unstetigkeitsstellen von vornherein nicht in Frage kommen, hast Du allerdings nicht ausdrücklich geschrieben. Mathematiker sind in dieser Hinsicht manchmal halt ein wenig pedantisch...
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