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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 So 03.05.2015 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mengen aller Punkte, in denen sie stetig sind:
[mm] f:\IR^{2} \to \IR
[/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{2xy}{x^{2}+y^{2}} , & \mbox{falls} (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{falls } (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
Sowie
[mm] g:\IR^{2} \to \IR
[/mm]
[mm] g(x,y)=\begin{cases} (x^{2}+y^{2})arctan(\bruch{1}{x-y}) , & \mbox{falls}x\not=y \\ 0, & \mbox{falls } x=y \end{cases} [/mm] |
Hallo zusammen!
Bezüglich f habe ich zuerst die zwei Nullfolgen [mm] (\bruch{1}{k},\bruch{1}{k+1}) [/mm] genommen und habe daraus den Grenzwert 1 ermittelt. Gleiches erhalte ich wenn ich x=y setze. Also ist die Funktion nicht stetig in (0,0). Passt das?
Bei g rätsel ich gerade noch herum. Mein Problem ist, dass ich nicht so richtig weiß wie ich es für alle [mm] x\not=y [/mm] zeige. Mein Ansatz war, dass ich für die Folgen 1. (x, [mm] x+\bruch{1}{k}) [/mm] sowie 2. [mm] (y+\bruch{1}{k}, [/mm] y) den Grenzwert gegen unendlich ermittel. Dadurch ist ja dann (x, [mm] x+\bruch{1}{k}) [/mm] fast (x,x) und [mm] (y+\bruch{1}{k}, [/mm] y) fast (y,y). Der Grenzwert müsste ja dann theoretisch 0 sein. Ich erhalte dann für 1. den Grenzwert [mm] \pi x^{2} [/mm] und für 2. den Grenzwert [mm] \pi y^{2}. [/mm] Irgendetwas gefällt mir daran aber noch nicht.
Ist die Richtung die ich bei g eingeschlagen habe überhaupt machbar?
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Mo 04.05.2015 | | Autor: | bezier |
Hallo,
Warum nicht : ( x , y ) = ( r cos t , r sin t ) ?
Dann : was kommt mit f( x , y ) [ dann mit g( x , y ) ] wenn r -> 0 ?
Gruss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:17 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Mengen
> aller Punkte, in denen sie stetig sind:
>
> [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm]
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{2xy}{x^{2}+y^{2}} , & \mbox{falls} (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{falls } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Sowie
>
> [mm]g:\IR^{2} \to \IR[/mm]
> [mm]g(x,y)=\begin{cases} (x^{2}+y^{2})arctan(\bruch{1}{x-y}) , & \mbox{falls}x\not=y \\ 0, & \mbox{falls } x=y \end{cases}[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Bezüglich f habe ich zuerst die zwei Nullfolgen
> [mm](\bruch{1}{k},\bruch{1}{k+1})[/mm] genommen und habe daraus den
> Grenzwert 1 ermittelt. Gleiches erhalte ich wenn ich x=y
> setze. Also ist die Funktion nicht stetig in (0,0). Passt
> das?
Ja. Und wie siehts mit der Sretigkeit von f auf [mm] \IR \setminus \{(0,0)\} [/mm] aus ?
>
> Bei g rätsel ich gerade noch herum. Mein Problem ist, dass
> ich nicht so richtig weiß wie ich es für alle [mm]x\not=y[/mm]
> zeige. Mein Ansatz war, dass ich für die Folgen 1. (x,
> [mm]x+\bruch{1}{k})[/mm] sowie 2. [mm](y+\bruch{1}{k},[/mm] y) den Grenzwert
> gegen unendlich ermittel. Dadurch ist ja dann (x,
> [mm]x+\bruch{1}{k})[/mm] fast (x,x) und [mm](y+\bruch{1}{k},[/mm] y) fast
> (y,y). Der Grenzwert müsste ja dann theoretisch 0 sein.
> Ich erhalte dann für 1. den Grenzwert [mm]\pi x^{2}[/mm] und für
> 2. den Grenzwert [mm]\pi y^{2}.[/mm] Irgendetwas gefällt mir daran
> aber noch nicht.
>
> Ist die Richtung die ich bei g eingeschlagen habe
> überhaupt machbar?
Ich glaube, Du denkst in die richtige Richtung, aber Deine Ausführungen ....
Wir untersuchen g auf Stetigkeit in [mm] (x_0,x_0).
[/mm]
Es gilt
[mm] $g(x_0,x_0 +\bruch{1}{k})=(x_0^2+(x_0 +\bruch{1}{k})^2)*arctan(-k) \to -x_0^2* \pi$ [/mm] für $k [mm] \to \infty$
[/mm]
und
[mm] $g(x_0+\bruch{1}{k},x_0 [/mm] ) [mm] \to x_0^2* \pi$ [/mm] für $k [mm] \to \infty$
[/mm]
Iat also [mm] x_0 \ne [/mm] 0, so ist g in [mm] (x_0,x_0) [/mm] nicht stetig.
Zeige noch: g ist in (0,0) stetig.
FRED
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> Viele Grüße!
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