Stetige Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 So 16.12.2007 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | | Sei f: Df nach R eine stetige Funktion mit (fx0) ungelich 0 für x0 E Df. Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U d (x0) gibt, so dass für alle x E U d (x0) geschnitten Df gilt: f(x) ungleich 0. Df ist der Definitionsbereich von f. und d:=delta |
Hallo,
ich brauche dringend Hilfe. Kann mir bitte jemand weiterhelfen. Ich muss das Blatt morgen früh abgeben und hab keine Ahnng wie icxh hier vorgehen soll. Was soll hier überhaupt gemacht werden. Und wieso gilt das. Ich kann der Aufgabe entnehmen, dass gilt: limf(x)=f(x0) und das ungleich 0. Wie hilft mir das weiter. Wo setz ich an. WIe kann ich mir das bildlich vorstellen. BItte helft mir... Magda
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> Sei f: Df nach R eine stetige Funktion mit (fx0) ungelich 0
> für x0 E Df. Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U d (x0)
> gibt, so dass für alle x E U d (x0) geschnitten Df gilt:
> f(x) ungleich 0. Df ist der Definitionsbereich von f. und
> d:=delta
> Hallo,
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> ich brauche dringend Hilfe. Kann mir bitte jemand
> weiterhelfen. Ich muss das Blatt morgen früh abgeben und
> hab keine Ahnng wie icxh hier vorgehen soll. Was soll hier
> überhaupt gemacht werden. Und wieso gilt das. Ich kann der
> Aufgabe entnehmen, dass gilt: limf(x)=f(x0) und das
> ungleich 0. Wie hilft mir das weiter. Wo setz ich an. WIe
> kann ich mir das bildlich vorstellen.
Du weisst also, dass [mm] $f(x_0)\neq [/mm] 0$ und $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist. Das heisst, anschaulich: wenn Du am Argument von $f$ nur wenig wackelst, dann wackelt der Funktionswert auch nur wenig, insbesondere kann er, sofern Du genügend wenig am Argument wackelst, nicht so stark wackeln, das er vom Wert [mm] $f(x_0)$ [/mm] bis auf $0$ kommt.
Soweit die Intuition. Nun müssen wir aber, gestützt auf die Stetigkeit von $f$, einen formalen Beweis liefern. Wie wir diesen Beweis führen, hängt leider davon ab, was Du über stetige Funktionen so alles weisst (bzw. als bekannt voraussetzen darfst). Es kann sein, dass Du zur Zeit nur die [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] Definition von Stetigkeit verwenden darfst. Ich werde dies im Folgenden einmal annehmen.
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \frac{|f(x_0)|}{2}$. [/mm] Es ist, wegen der Voraussetzung [mm] $f(x_0)\neq [/mm] 0$, sicherlich [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Wegen der Stetigkeit von $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] gibt es daher ein [mm] $\delta [/mm] >0$ so dass für alle [mm] $x\in D_f$ [/mm] gilt:
[mm]|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
Ich behaupte nun, dass [mm] $U_\delta(x_0)$ [/mm] die gewünschte Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] ist, in der $f$ nie den Wert 0 annimmt. Um dies zu zeigen, überlegst Du wie folgt:
[mm]|f(x)|=\big|f(x_0)+\big(f(x)-f(x_0)\big)\big|\geq |f(x_0)|-|f(x)-f(x_0)|\geq |f(x_0)|-\varepsilon = |f(x_0)|-\frac{|f(x_0)|}{2}=\frac{|f(x_0)|}{2}> 0[/mm]
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