Stetige Fortsetz. period. Fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man setze die Funktion $f(x):=x$ mit [mm] $f:[0,1]\to\IR$ [/mm] zu einer auf ganz definierten stetigen und periodischen Funktion [mm] \tilde{f} [/mm] mit Periode [mm] $\omega [/mm] = 2$ fort. Wäre eine Fortsetzung zu einer stetigen Funktion mit der Periode [mm] $\omega [/mm] = 1$ möglich? |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe habe ich eine Frage.
Die Fortsetzung auf ganz [mm] \IR [/mm] mit Periode 2 könnte ja so aussehen:
[mm] $\tilde{f}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}x-2k\ \ \ \quad\quad x\in[2k,2k+1], k\in\IZ \\ -x + 2k + 2\quad\quad x\in(2k+1,2k+2),k\in\IZ\end{cases}$
[/mm]
Das ist einfach eine Zickzack-Kurve. Gibt es noch eine günstigere Möglichkeit, das aufzuschreiben? Denn mit den Nachweisen f(x+2) = f(x) und der Stetigkeit in den Punkten 2k und 2k+1 wird das dann eine ziemliche Fummelei...
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Ich glaube nicht, dass man die Funktion zu einer stetigen periodischen Funktion mit Periode 1 fortsetzen kann, allein schon deswegen, weil das per Definition schon verletzt ist: $f(0) = 0 [mm] \not= [/mm] 1 = f(1) = f(0+1)$.
Aber angenommen, die Funktion f wäre nur auf $[0,1)$ definiert, dann ginge es doch trotzdem nicht, oder? Weil für die fortgesetzte Funktion [mm] \tilde{f} [/mm] gelten müsste: [mm] $\tilde{f}(1) [/mm] = [mm] \tilde{f}(0) [/mm] = 0$, d.h. sie wäre an der Stelle 1 nicht stetig, weil der linksseitige Grenzwert 1 ist, der rechtsseitige aber 0.
Stimmt das so?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Fr 11.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Wieder mal alles bestens !
FRED
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Danke Fred,
für deine Bestätigung und Korrektur  !
Grüße,
Stefan
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