Stetig, lokale Extrema < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f(x) := 1) sin x für 0 [mm] \le \pi \le \pi [/mm] /2
2) 1 für [mm] \pi/2 \le [/mm] x [mm] \le \pi
[/mm]
3) -cosx für [mm] \pi \le [/mm] x [mm] \le 3\pi [/mm] /2
Zeigen Sie, dass f stetig ist und bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f auf [0, [mm] 2\pi] [/mm] |
Hallo zusammen, leider weiß ich nicht genau wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich weiß durch die die Definiton der Sinusfunktion, dass 1) in jedem Bereich stetig ist, da die Sinusfunktion monoton, surjektiv und invertierbar ist. Kann ich dieselber Begründung auch für 3) verwenden oder ändert sich da etwas durch das Minuszeichen?
Bestimme ich die lokalen Extrema über die notwendigen und hinreichenden Kriterien?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo wasistmathe!
Du musst hier an den "Nahtstellen" der zsammengesetzten Funktion jeweils zeigen, dass der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert (und der Funktionswert) übereinstimmen.
Das heißt also für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] :
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}\uparrow}\sin(x) [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}\downarrow}1 [/mm] \ = \ ...$$
Bei Übereinstimmung liegt Stetigkeit vor.
> Bestimme ich die lokalen Extrema über die notwendigen und
> hinreichenden Kriterien?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
Gruß
Loddar
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Ja stimmt du hast Recht, so war es auch relativ einfach herauszufinden, dass alle stetig sind.
Danke
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