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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetig differenzierbar.
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Stetig differenzierbar.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Do 13.12.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
ist die FunktioF: [mm] \IR^3-> \IR^3 [/mm]
F= [mm] \vektor{x \\ z \\y} [/mm]
stetig deifferenzierbar?

F: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] eine partiell differenzierbare Funktion und alle partiellen Ableitungen sind stetig ->F  total differenzierbar

[mm] \frac{\partial F}{\partial x}= \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm]
[mm] \frac{\partial F}{\partial y}= \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm]
[mm] \frac{\partial F}{\partial z}= \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm]



Da alle Vektorkomponenten von F stetig sind ist F  ein stetig differenzierbares Vektorfeld

        
Bezug
Stetig differenzierbar.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Do 13.12.2012
Autor: reverend

Hallo quasimo,

das sieht gut aus.

> ist die FunktioF: [mm]\IR^3-> \IR^3[/mm]
>   F= [mm]\vektor{x \\ z \\ y}[/mm]
>  
> stetig deifferenzierbar?
>  F: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] eine partiell differenzierbare Funktion

> und alle partiellen Ableitungen sind stetig ->F  total
> differenzierbar
>  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial y}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial z}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> Da alle Vektorkomponenten von F stetig sind ist F  ein
> stetig differenzierbares Vektorfeld

So ist es. Es handelt sich ja auch nur um eine Spiegelung des [mm] \IR^3 [/mm] an der Ebene y=z, also nichts Aufregendes. ;-)

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Stetig differenzierbar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Do 13.12.2012
Autor: fred97


> Hallo quasimo,
>  
> das sieht gut aus.
>  
> > ist die FunktioF: [mm]\IR^3-> \IR^3[/mm]
>  >   F= [mm]\vektor{x \\ z \\ y}[/mm]
>  
> >  

> > stetig deifferenzierbar?
>  >  F: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] eine partiell differenzierbare

> Funktion
> > und alle partiellen Ableitungen sind stetig ->F  total
> > differenzierbar
>  >  
> > [mm]\frac{\partial F}{\partial x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  >  
> > [mm]\frac{\partial F}{\partial y}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  >  
> > [mm]\frac{\partial F}{\partial z}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  >  
> > Da alle Vektorkomponenten von F stetig sind ist F  ein
> > stetig differenzierbares Vektorfeld
>
> So ist es.


Hallo reverend,

schau mal hier:

https://matheraum.de/read?i=935753

Gruß FRED


> Es handelt sich ja auch nur um eine Spiegelung
> des [mm]\IR^3[/mm] an der Ebene y=z, also nichts Aufregendes. ;-)
>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
        
Bezug
Stetig differenzierbar.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Do 13.12.2012
Autor: fred97


> ist die FunktioF: [mm]\IR^3-> \IR^3[/mm]
>   F= [mm]\vektor{x \\ z \\y}[/mm]
>  
> stetig deifferenzierbar?
>  F: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] eine partiell differenzierbare Funktion

> und alle partiellen Ableitungen sind stetig ->F  total
> differenzierbar
>  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial x}= \vektor{1 \\ 0 \\0}[/mm]
>  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial y}= \vektor{0 \\ 0 \\1}[/mm]
>  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial z}= \vektor{0 \\ 1 \\0}[/mm]
>  
>
>
> Da alle Vektorkomponenten von F stetig sind ist F  ein
> stetig differenzierbares Vektorfeld

Da F differenzierbar ist, ist F auch stetig !


Ich vermute, dass Dir nicht klar ist, was "stetig differenzierbar " bedeutet.

F ist stetig differenzierbar, wenn F (total) differenzierbar ist und wenn die Ableitung F' stetig ist.

   F' ist stetig  [mm] \gdw \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] und  [mm] \frac{\partial F}{\partial z} [/mm]  sind stetig.

Bei obigem F ist natürlich klar, dass [mm] \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] und  [mm] \frac{\partial F}{\partial z} [/mm]  stetig sind.

FRED

Bezug
                
Bezug
Stetig differenzierbar.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Do 13.12.2012
Autor: quasimo

Impliziert also totale differenzierbarkeit stetigkeit?

LG

Bezug
                        
Bezug
Stetig differenzierbar.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Do 13.12.2012
Autor: M.Rex


> Impliziert also totale differenzierbarkeit stetigkeit?
>  
> LG

Jede Funktion, die Differenzierbar ist, muss auch stetig sein.
Stetige Differenzierbarket bedeutet, dass auch die Ableitung wieder eine Stetige Funktion ist.

Marius


Bezug
                                
Bezug
Stetig differenzierbar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:50 Do 13.12.2012
Autor: quasimo

Ah danke ;)

Bezug
                                        
Bezug
Stetig differenzierbar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:11 Do 13.12.2012
Autor: fred97


> Ah danke ;)

Das habe ich Dir allerdings hier

   https://matheraum.de/read?i=935753

schon erzählt.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Stetig differenzierbar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 Do 13.12.2012
Autor: quasimo

Das danke galt auch unteranderem dir ;D
Ja ich hab im ersten Mom. nicht überlegt^^
LG

Bezug
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