Steigung im Wendepunkt < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \mbox{Hi,}
[/mm]
[mm] \mbox{zu (a):}
[/mm]
[mm] \mbox{Meine Lösung ist } $f:f(x)=\bruch{3}{70304}x^3-\bruch{27}{2704}x^2 \Rightarrow f'f'(x)=\bruch{9}{70304}x^2-\bruch{27}{1352}x \Rightarrow f'':f''(x)=\bruch{18}{70304}x-\bruch{27}{1352} \Rightarrow f''':f'''(x)=\bruch{18}{70304}$
[/mm]
[mm] \mbox{Müsste stimmen, da ich bei der späteren Wendepunktsberechnung einen schön geraden Wert bekomme.}
[/mm]
[mm] \mbox{zu (b):}
[/mm]
[mm] \mbox{Dazu habe ich den Wendepunkt der Funktion berechnet:}
[/mm]
[mm] \mbox{NB:} $f''(x_{0})=0$
[/mm]
$f''(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=78$
[mm] \mbox{HB:} $f''(x_{0})=0 \wedge f'''(x_{0})=0$
[/mm]
$f'''(78)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Wendestelle$
[mm] $W(78|-40\bruch{1}{2})$
[/mm]
[mm] \mbox{Jetzt die Steigung im Wendepunkt bestimmen.}
[/mm]
[mm] $f'(78)=\bruch{78^2*9}{70304}-\bruch{78*27}{1352}=-\bruch{81}{104}$
[/mm]
[mm] $tan\alpha=-\bruch{81}{104} \gdw \alpha\approx-37,91°$
[/mm]
[mm] \mbox{Also stimmt der Wert in der Zeichnung durchaus mit meinem errechneten überein.}
[/mm]
[mm] \mbox{zu (c):}
[/mm]
[mm] \mbox{Hier habe ich auch } $f_{l}(x)=\bruch{162}{l^3}x^3-\bruch{243}{l^2}x^2$ \mbox{ heraus.}
[/mm]
[mm] \mbox{zu (d):}
[/mm]
[mm] \mbox{Doch jetzt kommt mein Problem:}
[/mm]
[mm] \mbox{Den Beweis habe ich noch hinbekommen:}
[/mm]
[mm] \mbox{Beweis: } $f:f(x)=ax^3+bx^2 \Rightarrow f':f'(x)=3ax^2+2bx \Rightarrow [/mm] f'':f''(x)=6ax+2b [mm] \Rightarrow [/mm] f''':f'''(x)=6a$
[mm] \mbox{Wendestellen bestimmen:}
[/mm]
[mm] \mbox{NB: } $f''(x_{0})=0$
[/mm]
$f''(x)=0 [mm] \gdw [/mm] 6ax+2b=0 [mm] \gdw x=\bruch{b}{3a}$
[/mm]
[mm] \mbox{HB: } $f''(x_{0})=0 \wedge f'''(x_{0}\not=0$
[/mm]
[mm] $f'''(\bruch{b}{3a})=6a \not=0 \Rightarrow [/mm] Wendestelle [mm] \Rightarrow W(\bruch{b}{3a}|f(\bruch{b}{3a}))$
[/mm]
[mm] \mbox{Extremstellen bestimmen: }
[/mm]
[mm] \mbox{NB: } $f'(x_{0})=0$
[/mm]
$f'(x)=0 [mm] \gdw 3ax^2+2bx=0 \gdw x_{1}=0 \vee x_{2}=\bruch{2b}{3a}$
[/mm]
[mm] \mbox{HB: } $f'(x_{0})=0 \wedge f''(x_{0})\not=0$
[/mm]
[mm] $f''(0)=2b\not=0 \Rightarrow [/mm] Extremum [mm] \Rightarrow E_{1}(0|f(0))$
[/mm]
[mm] $f''(\bruch{2b}{3a})=2b\not=0 \Rightarrow [/mm] Extremum [mm] \Rightarrow E_{2}(\bruch{2b}{3a}|f(\bruch{2b}{3a}))$
[/mm]
[mm] \mbox{Mittelpunkt der Strecke } $E_{1}E_{2}$
[/mm]
[mm] x_{m}=\bruch{1}{2}(0+\bruch{2b}{3a})=\bruch{b}{3a} [/mm]
[mm] \Rightarrow \mbox{ Der Wendepunkt ist in der Mitte der beiden Extrema.}
[/mm]
[mm] \mbox{Jetzt soll der Steigungswinkel im Wendepunkt 39° betragen, so muss die Steigung dort m=tan(39°) betragen.}
[/mm]
[mm] \mbox{1.) Wendestelle der Schar bestimmen:}
[/mm]
[mm] \mbox{NB: } $f_{l}''(x_{0})=0$
[/mm]
[mm] $f_{l}''(x)=0 \gdw \bruch{972}{l^3}x-\bruch{486}{l^2}=0 \gdw x=\bruch{l}{2}$
[/mm]
[mm] \mbox{HB: } $f_{l}''(x_{0})=0 \wedge f'''_{l}(x_{0})\not=0$
[/mm]
[mm] $f_{l}''(\bruch{l}{2})=\bruch{972}{2}>0 \Rightarrow W(\bruch{l}{2}|-40\bruch{1}{2})$
[/mm]
[mm] $f_{l}'(\bruch{l}{2})$ \mbox{ soll tan(39°) betragen:}
[/mm]
[mm] $tan(39°)=\bruch{486}{l^3}*\bruch{l^2}{4}-\bruch{486}{l^2}*\bruch{l}{2} \gdw l=\bruch{-121\bruch{1}{2}}{tan(39°)} \gdw l\approx-150$
[/mm]
[mm] \mbox{Mein 1. Problem: Wenn ich die Schar zeichnen lasse für l=150 kommt das richtige Ergebnis heraus, doch ich habe 150 ja nur als ungefähren Wert bestimmt. Ist die Aufgabe trotzdem richtig berechnet?}
[/mm]
[mm] \mbox{Mein 2. Problem: Die Länge hat jetzt einen negativen Wert, für die Richtigkeit des Ergebnisses müsste ich das Vorzeichen umkehren. Darf ich das einfach ohne Weiteres?}
[/mm]
[mm] \mbox{Vielen Dank für Aufklärung,}
[/mm]
[mm] \mbox{Stefan.}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi, Stefan,
zu b) > [mm]tan\alpha=-\bruch{81}{104} \gdw \alpha\approx-37,91°[/mm]
>
> [mm]\mbox{Also stimmt der Wert in der Zeichnung durchaus mit meinem errechneten überein.}[/mm]
Merkst Du was? Dein "Steigungswinkel" hat einen NEGATIVEN Wert!
Ist ja auch klar, wenn man sich in der Zeichnung anschaut, wie er gemessen wird!
Das hat aber natürlich auch Konsequenzen für Deine letzte Teilaufgabe:
> [mm]\mbox{zu (d):}[/mm]
> [mm]\mbox{Jetzt soll der Steigungswinkel im Wendepunkt 39° betragen, so muss die Steigung dort m=tan(39°) betragen.}[/mm]
Analog zur Aufgabe b) musst Du jetzt mit tan(-39°) rechnen!
Ansonsten passt alles!
> [mm]\mbox{1.) Wendestelle der Schar bestimmen:}[/mm]
>
> [mm]\mbox{NB: }[/mm] [mm]f_{l}''(x_{0})=0[/mm]
>
> [mm]f_{l}''(x)=0 \gdw \bruch{972}{l^3}x-\bruch{486}{l^2}=0 \gdw x=\bruch{l}{2}[/mm]
>
> [mm]\mbox{HB: }[/mm] [mm]f_{l}''(x_{0})=0 \wedge f'''_{l}(x_{0})\not=0[/mm]
>
> [mm]f_{l}''(\bruch{l}{2})=\bruch{972}{2}>0 \Rightarrow W(\bruch{l}{2}|-40\bruch{1}{2})[/mm]
>
> [mm]f_{l}'(\bruch{l}{2})[/mm] [mm]\mbox{ soll tan(39°) betragen:}[/mm]
>
> [mm]tan(39°)=\bruch{486}{l^3}*\bruch{l^2}{4}-\bruch{486}{l^2}*\bruch{l}{2} \gdw l=\bruch{-121\bruch{1}{2}}{tan(39°)} \gdw l\approx-150[/mm]
>
> [mm]\mbox{Mein 1. Problem: Wenn ich die Schar zeichnen lasse für l=150 kommt das richtige Ergebnis heraus, doch ich habe 150 ja nur als ungefähren Wert bestimmt. Ist die Aufgabe trotzdem richtig berechnet?}[/mm]
>
> [mm]\mbox{Mein 2. Problem: Die Länge hat jetzt einen negativen Wert, für die Richtigkeit des Ergebnisses müsste ich das Vorzeichen umkehren. Darf ich das einfach ohne Weiteres?}[/mm]
Siehe oben!
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