Steigung/Tangenten/Krümmung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mo 08.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Steigung für folgenden Graphen und bestimmen Sie (wenn möglich) alle senkrechten und waagerechten Tangenten:
[mm] r=tan(\Phi) [/mm] |
Ich bin so vorgegangen.
[mm] y'=\bruch{\dot y}{\dot x}
[/mm]
Damit lässt sich doch die Steigung bestimmen oder?
[mm] x=r*cos(\Phi)=tan(\Phi)*cos(\Phi)=\bruch{sin(\Phi)}{cos(\Phi)}*cos(\Phi)=sin(\Phi)
[/mm]
[mm] \dot x=cos(\Phi)
[/mm]
[mm] y=tan(\Phi)*sin(\Phi)
[/mm]
[mm] \dot y=\bruch{1}{cos^2(\Phi)}*sin(\Phi)+tan(\Phi)*cos(\Phi)=\bruch{1}{cos^2(\Phi)}*sin(\Phi)+sin(\Phi)=sin(\Phi)*\left(1+\bruch{1}{cos^2(\Phi)}\right)
[/mm]
Wäre damit die erste Teilaufgabe wegen der Steigung gelöst? Mit folgender Formel könnte ich doch die Steigung in einem beliebigen Punkt berechnen oder?
[mm] y'=\bruch{\dot y}{\dot x}=\bruch{sin(\Phi)*\left(1+\bruch{1}{cos^2(\Phi)}\right)}{cos(\Phi)}
[/mm]
Zu den waagerechten Tangenten :
[mm] $\dot [/mm] x=0 [mm] \to \Phi=\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Zu den senkrechten Tangenten:
[mm] $\dot [/mm] y=0 [mm] \to sin(\phi)*\left(1+\bruch{1}{cos^2(\phi)}\right)$
[/mm]
Ein produkt ist 0 wenn einer der Faktoren Null ist
[mm] \to \Phi=0
[/mm]
Dann hätte ich doch meine Tangenten..
Für die krümmung hab ich mir gedacht, dass ich
[mm] $\ddot [/mm] y$ brauche...
[mm] $\ddot y=-2*\bruch{1}{cos^3(\Phi)}*cos(\Phi)+cos(\Phi)=-2*\bruch{1}{cos^2(\Phi)}+cos(\Phi)$
[/mm]
und das kann nie 0 werden, also kann ich auch nicht sagen, wo der Graph links, bzw. rechtsgekrümmt ist...
Wenn man sich den Graph anguckt sieht man aber, dass er immer links UND rechtsgekrümmmt ist. (kann man das so sagen?)
Oder sagt man dann eher "Die Krümmung lässt sich nicht eindeutig bestimmen."
Hier der plot:
![[]](/images/popup.gif) Link
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo,
nur kurz zur Krümmung: die zweite Ableitung einer Funktion f(x) liefert Dir ja nicht die Krümmung, sondern Du kannst lediglich feststellen, ob sie rechts- oder linksgekrümmt ist.
(Und Deine Kurve ist ja außerdem keine Funktion von x!)
Die Krümmung [mm] \kappa [/mm] kann man so ausrechnen.
Gruß v. Angela
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> Berechnen Sie die Steigung für folgenden Graphen und
> bestimmen Sie (wenn möglich) alle senkrechten und
> waagerechten Tangenten:
>
> [mm]r=tan(\Phi)[/mm]
Hallo,
Du betrachtest also eine ebene Kurve mit [mm] \vec{r}(\phi)=\vektor{x(\phi) \\ y(\phi)}=\tan(\phi)\vektor{\cos(\phi)\\ \sin(\phi)}=\sin(\phi)\vektor{1\\ \tan(\phi)}
[/mm]
Du tust in der Folge allerlei Richtiges, aber Du hast etwas Wichtiges nicht bedacht: [mm] \vec{r}(\phi) [/mm] ist doch für [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] nicht definiert, Du betrachtest also [mm] \Phi\in[0,2\pi] [/mm] \ [mm] \{\bruch{\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2}\}
[/mm]
und schon aus diesem Grund solltest Du eigentlich ins Grübeln geraten, wenn Du (wie unten) errechnest, daß bei [mm] \phi=\bruch{\pi}{2} [/mm] eine waagerechte Tangente ist.
Dein Vorgehen ist soweit richtig, ich selbst hätte den Tangentenvektor mal hingeschrieben
[mm] r'(\phi)=\sin(\phi)\vektor{0\\ \bruch{1}{cos^2(\phi)}} [/mm] + [mm] \cos(\phi)\vektor{1\\ \tan(\phi)}=\vektor{cos(\phi)\\ \sin(\phi)(1+\bruch{1}{cos^2(\phi)})}
[/mm]
> Ich bin so vorgegangen.
>
> [mm]y'=\bruch{\dot y}{\dot x}[/mm]
>
> Damit lässt sich doch die Steigung bestimmen oder?
>
> [mm]x=r*cos(\Phi)=tan(\Phi)*cos(\Phi)=\bruch{sin(\Phi)}{cos(\Phi)}*cos(\Phi)=sin(\Phi)[/mm]
>
> [mm]\dot x=cos(\Phi)[/mm]
>
>
> [mm]y=tan(\Phi)*sin(\Phi)[/mm]
>
> [mm]\dot y=\bruch{1}{cos^2(\Phi)}*sin(\Phi)+tan(\Phi)*cos(\Phi)=\bruch{1}{cos^2(\Phi)}*sin(\Phi)+sin(\Phi)=sin(\Phi)*\left(1+\bruch{1}{cos^2(\Phi)}\right)[/mm]
>
> Wäre damit die erste Teilaufgabe wegen der Steigung gelöst?
> Mit folgender Formel könnte ich doch die Steigung in einem
> beliebigen Punkt berechnen oder?
>
> [mm]y'=\bruch{\dot y}{\dot x}=\bruch{sin(\Phi)*\left(1+\bruch{1}{cos^2(\Phi)}\right)}{cos(\Phi)}[/mm]
Du mußt aufpassen, ob Du nicht versehentlich durch 0 dividierst, aber da die entsprechenden Werte aus dem Definitionsereich ausgenommen sind, hat man hier kein Problem.
>
> Zu den waagerechten Tangenten :
>
> [mm]\dot x=0 \to \Phi=\bruch{\pi}{2}[/mm]
Nein, wenn [mm] \bruch{dx}{d\phi}=0 [/mm] ist, hast Du doch gerade eine senkrechte Tangente, und für [mm] \bruch{dy}{d\phi}=0 [/mm] eine waagerechte
Es ist also genau andersrum, und Du solltest das nochmal machen.
Zu den Krümmungen hatte ich Dir in meiner Mitteilung ja schon etwas geschreiben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mi 10.09.2008 | | Autor: | tedd |
Danke für die Hilfe angela!
Ich werd mich sobald ich zeit habe nochmal dran setzen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
tedd
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