Steigu. einer Parabel in 1 Pkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
habe folgendes problem.
ich soll die steigung eines punktes an einer parabel ausrechnen. es liegt eine tagente an.
was ich nicht verstehe: wozu brauch ich noch eine sekante? diese gibt ja auch nur einen näherungswert an. warum steht in der formel für die steigung eine 1+h z.B.
könnt ihr mir das einmal an einem beispiel ganz einfach erläutern.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
tausend dank im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Sa 12.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Rene
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich soll die steigung eines punktes an einer parabel
> ausrechnen. es liegt eine tagente an.
Du meinst wohl die Steigung IN einem Punkt?
Was meinst du damit "es liegt eine Tangente an? Hast du einfach mit Augenmass und Lineal eine Gerade an die Parabel geschoben und nennst das dann Tangente? Das vermut ich mal! Dann sind da 2 Fehler drin: 1. wieso weisst du dass du genau den Punkt 1 getroffen hast, und nicht 1,01 oder 0,976?2. Wie genau kannst du die Steigung ablesen? Doch höchstens auf 1 Stelle hinter dem Komma. Und wenn du nen anderen Punkt willst musst du alles genauso "ungefähr" von vorn anfangen.
Die Mathematiker wollen es aber ganz genau wissen, nicht nur auf ein oder 2 oder 4 Stellen genau! Sie sind an der "theoretischen" Tangente interressiert, nicht an der ungefähren. So ist auch nicht deine gezeichnete Parabel "die Parabel, denn auch auf deiner Zeichnung ist ja z. Bsp. der Wert bei x=1,537 nicht abzulesen, die Zeichnung ist nur ne grobe Veranschaulichung, aus der man das Verhalten von [mm] y=x^{2} [/mm] ablesen kann.
Aber eine Sekante, die ich durch die 2 Punkte x=1 y=1 und x=1+h, [mm] y=(1+h)^{2} [/mm] lege kann ich genau bestimmen durch die 2 Punkteform einer Geraden. Und dann ist die Steigung: [mm] m=\bruch{(1+h)^2 -1}{(1+h)-h}=\bruch{(1+h)^2 -1}{h} [/mm] Das kann man für jed Zahl h die man einsetzt
genau ausrechnen, egal ob h pos oder neg. ist. Nun rechnet man den Bruch noch ein bissel weiter aus mit [mm] (1+h)^{2}-1=1+2*h+h^{2}-1=2h+h^{2}
[/mm]
dann kürzt man durch h und hat m=2+h
So und jetzt überleegt man, was passiert, wenn man den 2.Punkt der Sekante immer näher an den ersten ranrücken lässt. und zwar von unten und von oben. Es kommen Werte immer näher bei 2 raus, und zwar für Punkte unterhalb, also h negative immer Werte kleiner 2, für Punkte oberhalb immer Werte größer 2. Also was bleibt für die Tangente an Möglichkeiten? Sie muss ne Steigung dazwischen haben, wenn es sie gibt. Da bleibt nur die 2 übrig.
Und eigentlich muss man dazusagen, was ne Tangente ist: und die Mathematiker sagen eine Tangente nenn ich die Gerade die man bekommt, wenn man Sekanten durch Punkte legt, die "beliebig" nahe an dem Punkt, um den es geht, liegen. Der offizielle Wortlaut ist, Eine Tangente ist die Grenzgerade von Sekanten, wenn h gegen 0 geht.
So, ich hoff das wars, was du wissen wolltest, wenns noch nicht klar ist, frag nach. Das mit den Grenzwerten haben auch Mathematiker lange Zeit, nachdem Newton Tangenten so bestimmt hat, sehr schwierig gefunden. Also komm dir nicht blöd vor, wenn dus nicht direkt verstehst.
Gruss leduart
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Differenzenquotient