Starkes maximalprinzip < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Sa 14.06.2014 | | Autor: | hilbert |
Ich soll zeigen, dass das starke Maximalprinzip nur für beschränkte Gebiete gilt und anhand der Funktion sin(z) ein Gegenbeispiel zeigen. (Das Priznip sagt, dass der Betrag einer holomorphen Funktion auf einem Gebiet nur ein Maximum im Inneren eines beschränkten Gebietes G haben kann, falls f konstant ist)
Nun dachte ich mir, wir nehmen als unbeschränktes Gebiet einfach ganz [mm] \mathbb{C} [/mm] und zeigen, dass der |sin(z)| dort ein Maximum besitzt? Das sieht mir jedoch viel zu einfach aus, denn da gibt es ja unendlich viele.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich soll zeigen, dass das starke Maximalprinzip nur für
> beschränkte Gebiete gilt und anhand der Funktion sin(z)
> ein Gegenbeispiel zeigen. (Das Priznip sagt, dass der
> Betrag einer holomorphen Funktion auf einem Gebiet nur ein
> Maximum im Inneren eines beschränkten Gebietes G haben
> kann, falls f konstant ist)
Nun formuliere doch mal das Maximumprinzip korrekt. Schreibs irgendwo ab. So wie Du das oben geschrieben nhast, ist das doch eine Trivialität.... (falls f konstant ist...... )
>
> Nun dachte ich mir, wir nehmen als unbeschränktes Gebiet
> einfach ganz [mm]\mathbb{C}[/mm] und zeigen, dass der |sin(z)| dort
> ein Maximum besitzt?
Das wird Dir nicht gelingen !
> Das sieht mir jedoch viel zu einfach
> aus, denn da gibt es ja unendlich viele.
Ja, tatsächlich ? Wo denn ??
Beachte $sin ( [mm] \IC)=\IC$
[/mm]
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Sa 14.06.2014 | | Autor: | hilbert |
Ich hatte den reellen Sinus im Sinn, das macht die Sache natürlich klar.
Das maximal Prinzip hatte ich aus dem Kopf hingeschrieben, damit ihr wisst was ich meine. Laut Skript:
Unter dem starken Maximalprinzip verstehen wir, dass eine holomorphe Funktion, die ihr Maximum im Innern eines beschränkten Gebietes annimmt, konstant sein muss.
Aber ich verstehe den Einwand (hoffentlich), dass ich die Implikation in der falschen Richtung geschrieben habe.
Dass ich kein Maximum finde, leuchtet mir ein. Hast du einen Tipp wie ich vorgehen kann?
Meine Ideen:
Soll ich mir ein anderes Gebiet als [mm] \mathbb{C} [/mm] überlegen?
Soll ich [mm] sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} [/mm] benutzen?
Eine Überlegung, der ich erst noch weiter nachgehen müsste wäre, mir einen Streifen der Form [mm] M=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|x\in\mathbb{R},-1\le y \le 1} [/mm] zu definieren und hier nach einem Maximum zu suchen.
Für einen Schubs in die richtige Richtung, wäre ich sehr dankbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hatte den reellen Sinus im Sinn, das macht die Sache
> natürlich klar.
>
> Das maximal Prinzip hatte ich aus dem Kopf hingeschrieben,
> damit ihr wisst was ich meine. Laut Skript:
>
> Unter dem starken Maximalprinzip verstehen wir, dass eine
> holomorphe Funktion, die ihr Maximum im Innern eines
> beschränkten Gebietes annimmt, konstant sein muss.
Das ist immer noch nicht richtig !
>
> Aber ich verstehe den Einwand (hoffentlich), dass ich die
> Implikation in der falschen Richtung geschrieben habe.
>
>
> Dass ich kein Maximum finde, leuchtet mir ein. Hast du
> einen Tipp wie ich vorgehen kann?
> Meine Ideen:
>
> Soll ich mir ein anderes Gebiet als [mm]\mathbb{C}[/mm] überlegen?
>
> Soll ich [mm]sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}[/mm] benutzen?
>
> Eine Überlegung, der ich erst noch weiter nachgehen
> müsste wäre, mir einen Streifen der Form
> [mm]M=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|x\in\mathbb{R},-1\le y \le 1}[/mm] zu
> definieren und hier nach einem Maximum zu suchen.
>
> Für einen Schubs in die richtige Richtung, wäre ich sehr
> dankbar.
Verstehe ich Dich richtig : gegeben f(z)=sin(z). Gesucht: ein unbeschränktes Gebiet G in [mm] \IC [/mm] mit: |f| hat in G ein Maximum.
Lautet die Aufgabe so ? Wenn ja: das wird nix !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Sa 14.06.2014 | | Autor: | hilbert |
Ich schreibe die Aufgabe einfach mal wortwörtlich ab:
Zeigen sie mit Hilfe der Funtion f(z)=sin(z), dass das starke Maximalprinzip nicht für unbeschränkte Gebiete gilt.
Das Prinzip habe ich ja schon "zitiert".. Ich würde zwar nicht behaupten, dass ein Professor in einer, ich behaupte einmal, Anfängerveranstaltung einfach falsche Sätze bzw Aufgaben raushaut, aber abschreiben/lesen kann ich wohl..
Kann es sein, dass er sich mit der Funktion vertan hat und sowas haben wollte wie sinz/z, cos(z), tan(z)? Oder funktioniert das auch dort nicht?
Vielen dank für deine Hilfe Fred!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich schreibe die Aufgabe einfach mal wortwörtlich ab:
>
> Zeigen sie mit Hilfe der Funtion f(z)=sin(z), dass das
> starke Maximalprinzip nicht für unbeschränkte Gebiete
> gilt.
>
> Das Prinzip habe ich ja schon "zitiert".. Ich würde zwar
> nicht behaupten, dass ein Professor in einer, ich behaupte
> einmal, Anfängerveranstaltung einfach falsche Sätze bzw
> Aufgaben raushaut, aber abschreiben/lesen kann ich wohl..
Tatsächlich ! Oben schreibst DU.
"Unter dem starken Maximalprinzip verstehen wir, dass eine holomorphe Funktion, die ihr Maximum im Innern eines beschränkten Gebietes annimmt, konstant sein muss."
Vom Maximum einer holomorphen Funktion f zu reden, ist völlig sinnlos ! Denn f ist komplexwertig. Gemeint ist das Maximum von |f|.
Entweder hat Dein toller Professor geschludert oder Du.
>
> Kann es sein, dass er sich mit der Funktion vertan hat und
> sowas haben wollte wie sinz/z, cos(z), tan(z)? Oder
> funktioniert das auch dort nicht?
>
Es gilt folgender
SATZ: Ist G ein Gebiet in [mm] \IC [/mm] und f:G [mm] \to \IC [/mm] holomorph und nicht konstantt, so hat |f| auf G kein Maximum.
FRED
> Vielen dank für deine Hilfe Fred!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 14.06.2014 | | Autor: | hilbert |
Dann muss ich ihn mal darauf ansprechen, dass dort eventuell Beträge fehlen. Das Skript wird von einem seiner Mitarbeiter während dieses Semesters getext.
Wie kann ich das jetzt mit |sin(z)| wiederlegen für unbeschränkte Gebiete?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann muss ich ihn mal darauf ansprechen, dass dort
> eventuell Beträge fehlen. Das Skript wird von einem seiner
> Mitarbeiter während dieses Semesters getext.
>
> Wie kann ich das jetzt mit |sin(z)| wiederlegen für
> unbeschränkte Gebiete?
Nochmal:
SATZ: Ist G ein Gebiet in $ [mm] \IC [/mm] $ und f:G $ [mm] \to \IC [/mm] $ holomorph und nicht konstantt, so hat |f| auf G kein Maximum.
Ob G beschränkt ist oder nicht, ist in obigem Satz völlig wurscht !
FRED
|
|
|
|
