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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Ein Glücksrad besteht aus sechs Sektoren und wird zweimal gedreht.
Gewonnen haben alle Zahlenkombinationen 1|1 bis 6|6,
und zwar:
1|1 sowie 6|6 = 5 Euro Gewinn
2|2 sowie 3|3 = 3 Euro Gewinn
4|4 sowie 5|5 = 2 Euro Gewinn
Der Einsatz beträgt ein Euro!
a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(x) und die Streuung o.
b) Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist? (1|2 und 2|1 sind zwei verschiedene Ausspielungen)
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Hallo.
Ich habe eigentlich gar keinen Plan, wie man diese Aufgabe macht.
a) E(x) = [mm] \bruch{5*2Ereignisse+3*2+2*2}{36} [/mm] = [mm] \bruch{20}{36}
[/mm]
o = [mm] \wurzel{\bruch{1}{36}* ((5-\bruch{20}{36})^2*2+(3-\bruch{20}{36})^2*2+(2-\bruch{20}{36})*2)}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Und wie mache ich nun Aufgabe b?
Der gesuchte faire Einsatz ist ja der, den ich durchschnittlich gewinne. Also hat das etwas mit dem Erwartungswert zu tun?
b) fairer Einsatz = Erwartungswert = [mm] \bruch{20}{36}
[/mm]
Danke!
Grüße Phoney
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Hallo Phoney, wiederholen wir doch zunächst mal, was überhaupt X, EX und VarX ist...
Eine Zufallsgröße X ist nichts anderes als eine Abbildung [mm] $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, [/mm] d.h. einem Ereignis wird ein Wert zugeordnet.
In unserem Beispiel wird dem Ereignis "es erscheint 2;2" der Wert 3 zugeordnet, dem Ereignis "Spieler verliert" der Wert -1 usw...
Der Erwartungswert EX summiert nun die Zufallsgrößen gewichtet nach ihrer Wahrscheinlichkeit auf, gibt also einen Anhaltspunkt, wie wohl das Spiel im Mittel ablaufen sollte:
[mm] $EX=\summe_{i=1}^{n}x_{i}\*P(x_{i})$ [/mm] (bei einem Spiel mit n Zufallsgrößen)
Die Varianz VarX verrät etwas darüber, wie stark denn nun die Ergebnisse um den Erwartungswert schwanken werden.
[mm] $VarX=E(X-EX)^2)=EX^2-(EX)^2$
[/mm]
Durch das Quadrieren werden stärkere Ausreißer auch stärker gewichtet und dafür gesorgt, dass die Varianz positiv ist.
Um dann die Schwankung aber beziffern zu können, nimmt man wenn man die Streuung oder Standartabweichung von X angeben will die Wurzel aus der Varianz.
Packen wir die Aufgabe an:
[mm] \Omega=\{1,1oder6,6;2,2oder3,3;4,4oder5,5;i,j mit i\not=j und i,i\in\{1,2,...,6\}\}
[/mm]
[mm] $\omega|X(\omega)$
[/mm]
1,1oder6,6|5
2,2oder3,3|3
4,4oder5,5|2
$i,j mit [mm] i\not=j [/mm] und [mm] i,i\in{1,2,...,6}$|-1
[/mm]
[mm] $P(x=5)=P(\mbox{"es erscheint 1,1 oder 6,6"})=\frac{1}{36}*2=\frac{1}{18}$
[/mm]
[mm] $P(x=3)=\frac{1}{36}*2=\frac{1}{18}$
[/mm]
[mm] $P(x=2)=\frac{1}{36}*2=\frac{1}{18}$
[/mm]
[mm] $P(x=-1)=1-P(x\not=-1)=1-3*\frac{1}{18}=\frac{15}{18}$
[/mm]
[mm] $EX=\summe_{x \in X}x\*P(x)=\frac{1}{18}*5+\frac{1}{18}*3+\frac{1}{18}*2+\frac{15}{18}*(-1)=-\frac{5}{18}$
[/mm]
[mm] $VarX=EX^2-(EX)^2=(\frac{1}{18}*5^2+\frac{1}{18}*3^2+\frac{1}{18}*2^2+\frac{15}{18}*(-1)^2)-(\frac{5}{18})^2=\frac{929}{324}$
[/mm]
[mm] $\sigma=\sqrt{VarX}=\frac{\sqrt{929}}{18}$
[/mm]
Zu Aufgabe b)
Es lässt sich natürlich darüber streiten wann das Spiel fair ist, insbesondere würde ich das als Unabhängig vom Einsatz sehen sondern ein Spiel genau dann als fair bezeichnen, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit fifty/fifty ist.
Im Sinne der Aufgabe ist aber sicher gemeint dass weder der Gewinner noch die "Bank" einen Gewinn im Schnitt verzeichnen, was wiederum heißt der Erwartungswert muss 0 sein.
Besonders an dieser Stelle wird es wichtig, was mit Gewinn gemeint ist. Ich sehe als Gewinn den Differenzbetrag zwischen Auszahlung und Einsatz, der Aufgabensteller mag mit Gewinn die reine Auszahlung gemeint haben. Je nach dem wird sich die Rechnung ein wenig ändern!
EX:=0
(nach meiner Methode) bleiben die Auszahlungen konstant wenn man gewinnt, lediglich am im Falle des Verlierens ändert sich etwas.
Setzte also an:
[mm] $0=\frac{1}{18}*5+\frac{1}{18}*3+\frac{1}{18}*2+\frac{15}{18}*(a)$ |$-\frac{15}{18}*(a)$
[/mm]
[mm] $-\frac{15}{18}*(a)=\frac{1}{18}*5+\frac{1}{18}*3+\frac{1}{18}*2$ |$:-\frac{15}{18}$
[/mm]
[mm] $a=\frac{\frac{1}{18}*5+\frac{1}{18}*3+\frac{1}{18}*2}{-\frac{15}{18}}=-\frac{8}{15}$
[/mm]
Ergebnis: Der Einsatz müsste [mm] $\frac{8}{15}$ [/mm] betragen.
Ich hoffe dass das ganze so verständlicher ist und Dir geholfen hat!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 So 12.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Nachtwaechter. Das gerechnete ist so weit zu 100% nachvollziehbar. Allerdings habe ich wirklich argste Probleme mit den Begrifflichkeiten, dazu kommt, dass ich nie wirklich verstehe, was in solchen Aufgaben so gefragt ist.
Jedenfalls vielen dank dafür!!!
Gruß
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Hallo Nachtwaechter,
Bei einem Einsatz von 1/3 schummelt die Bank oder ich spiele sofort mit 
Ich denke der Ansatz von Phoney ist hier richtig.
viele Grüße
mathemaduenn
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stimmt, muss 8/15 Einsatz heißen damit EX=0, weiß nicht wie ich auf 1/3 kam! Danke!
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Hallo Nachtwächter,
Nach deinem Ansatz sollte 2/3 rauskommen. Eigentlich laufen Glückspiele aber doch meist so ab:
1. Einsatz bezahlen
2. spielen
3. man hat was gewonnen oder auch nicht.
Man bezahlt aber meistens auch, wenn man am Ende gewinnt. So daß Phoney's Ansatz meiner Meinung nach richtiger ist. Auch wenn man sagen könnte das die Aufgabe unzureichend beschrieben ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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Ja, wie ich auch schon in meiner Antwort geschrieben habe kommt es darauf an, wie man eben Gewinn definiert! Die mir bislang üblicherweise begegnete Definition war eben Gewinn=Auszahlung-Einzahlung, Wenn man das anders definiert ändert sich der Ansatz, das Ergebnis und weiter oben auch schon der Erwartunswert sowie die Varianz.
Deine Definition ist ja auch plausibel und hat ihre Berechtigung, ich möchte sie gar nicht als schlechter bezeichnen. "Richtiger" ist wohl keine von beiden!
Grüße!
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Hallo Nachtwächter,
Ja jetzt hab ich verstanden was Du meinst.
O.K.
viele Grüße
mathemaduenn
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