Stammfunktion bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Ich hab mal ne Frage zu Stammfunktionen.
Ich hab ein Problem damit, die Stammfunktion von gebrochen rationalen Funktionen zu bestimmen,wie z.b von [mm] f(x)=\bruch{6}{2x+4} [/mm] oder [mm] f(x)=\bruch{2x}{x^{2}+9},f(x)=\bruch{x^{2}-2}{x+1} [/mm] und [mm] f(x)=\bruch{2x^{2}+2x+4}{2x+2}.
[/mm]
Wie kann ich denn allgemein bei solchen Funktionen vorgehen?
Gibts da irgendeinen Trick?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo^^
>
> Ich hab mal ne Frage zu Stammfunktionen.
> Ich hab ein Problem damit, die Stammfunktion von gebrochen
> rationalen Funktionen zu bestimmen,wie z.b von
> [mm]f(x)=\bruch{6}{2x+4}[/mm] oder
> [mm]f(x)=\bruch{2x}{x^{2}+9},f(x)=\bruch{x^{2}-2}{x+1}[/mm] und
> [mm]f(x)=\bruch{2x^{2}+2x+4}{2x+2}.[/mm]
>
> Wie kann ich denn allgemein bei solchen Funktionen
> vorgehen?
> Gibts da irgendeinen Trick?
behandeln wir es einfach mal nach und nach (vorneweg: es gibt eine Formel, die, grob gesagt, für geeignete Funktionen [mm] $\black{f}$ [/mm] lautet: [mm] ($\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx=\ln(f(x))$; [/mm] sie ergibt sich, wenn man in [mm] $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx$ [/mm] dann [mm] $\black{y}:=y(x)=f(x)$ [/mm] substituiert; und wenn man sie kennt, kann man sie auch bei den Beispielen Deinerseits (an manchen Stellen) direkt anwenden, anstatt zu substituieren):
1.) Zu [mm] $\int \bruch{6}{2x+4}\;dx$:
[/mm]
Substituiere [mm] $\black{y}:=y(x)=2x+4$ [/mm] und beachte, dass [mm] $\ln'(y)=\frac{1}{y}$ [/mm] für [mm] $\black{y} [/mm] > 0$ (oder [mm] $(\ln(|y|))'=\frac{1}{y}$ [/mm] für [mm] $\black{y} \not=0$).
[/mm]
(Wenn man ganz spitzfindig ist, kann man auch zunächst sagen: Man schränkt [mm] $f(x)=\frac{6}{2x+4}$ [/mm] zunächst auf [mm] $]-2,\infty[$ [/mm] ein und berechnet so die Stammfunktion von [mm] $\black{f}$ [/mm] auf [mm] $]-2,\infty[$. [/mm] Danach beachtet man, dass [mm] $\black{f}$ [/mm] die Gleichung [mm] $f(-2+x)-0=\frac{6}{2x}=-f(-2-x)+0$ [/mm] für alle $x [mm] \not=0$ [/mm] erfüllt (Punktsymmetrie zum Punkt [mm] $P(\black{a},b)=P(-2,0)$), [/mm] vgl. ![[]](/images/popup.gif) http://wiki.zum.de/Benutzer:Hedwig#Punktsymmetrie_zu_einem_beliebigen_Punkt). Mithilfe dieser Punktsymmetrie kann man sich dann auch die Stammfunktion von [mm] $\black{f}$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus\{\,-\,2\}$ [/mm] überlegen.
2.) Zu [mm] $\int \frac{2x}{x^2+9}\;dx$:
[/mm]
Im Zähler steht die Ableitung des Nenners. Auch hier liegt eine Substitution nahe:
[mm] $\black{y}:=y(x)=x^2+9$.
[/mm]
3.) Zu [mm] $\int \frac{x^2-2}{x+1}\;dx$: [/mm] Hier hilft folgender Trick:
[mm] $\int \frac{x^2-2}{x+1}\;dx=\int \left(\frac{x^2-1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)\;dx=\int \frac{x^2-1}{x+1}\;dx-\int \frac{1}{x+1}\;dx$.
[/mm]
Und bei [mm] $\int \frac{x^2-1}{x+1}\;dx$ [/mm] benutze die dritte binomische Formel im Zähler und schau dann, was passiert. Und bei [mm] $\int \frac{1}{x+1}\;dx$ [/mm] orientiere Dich notfalls nochmal an dem Beispiel aus 1.), also Substitution [mm] $\black{y}:=y(x)=\frac{1}{x+1}$...
[/mm]
4.) Zu [mm] $\int \frac{2x^2+2x+4}{2x+2}$:
[/mm]
Wenn Du bis hierhin alles verstanden hast, sollte es Dir nun reichen, wenn ich Dir folgenden Tipp gebe:
[mm] $\frac{2x^2+2x+4}{2x+2}=\frac{x^2+x+2}{x+1}=\frac{x^2+x}{x+1}+\frac{2}{x+1}=\frac{x*(x+1)}{x+1}+\frac{2}{x+1}\,.$
[/mm]
Das hier sind alles sehr spezielle Funktionen. Sollten solche Tricks scheitern, kann man auch versuchen, mit Partialbruchzerlegung an die Sache heranzugehen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
erst mal vielen Dank für deine Erklärung,ich hab aber nochmal ne Frage
> behandeln wir es einfach mal nach und nach (vorneweg: es
> gibt eine Formel, die, grob gesagt, für geeignete
> Funktionen [mm]\black{f}[/mm] lautet: ([mm]\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx=\ln(f(x))[/mm];
> sie ergibt sich, wenn man in [mm]\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx[/mm]
> dann [mm]\black{y}:=y(x)=f(x)[/mm] substituiert; und wenn man sie
> kennt, kann man sie auch bei den Beispielen Deinerseits (an
> manchen Stellen) direkt anwenden, anstatt zu
> substituieren):
>
> 1.) Zu [mm]\int \bruch{6}{2x+4}\;dx[/mm]:
>
> Substituiere [mm]\black{y}:=y(x)=2x+4[/mm] und beachte, dass
> [mm]\ln'(y)=\frac{1}{y}[/mm] für [mm]\black{y} > 0[/mm] (oder
> [mm](\ln(|y|))'=\frac{1}{y}[/mm] für [mm]\black{y} \not=0[/mm]).
Was beudeutet denn ln ?
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Hallo Mandy,
> Hallo
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> erst mal vielen Dank für deine Erklärung,ich hab aber
> nochmal ne Frage
>
> > behandeln wir es einfach mal nach und nach (vorneweg: es
> > gibt eine Formel, die, grob gesagt, für geeignete
> > Funktionen [mm]\black{f}[/mm] lautet: ([mm]\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx=\ln(f(x))[/mm];
> > sie ergibt sich, wenn man in [mm]\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx[/mm]
> > dann [mm]\black{y}:=y(x)=f(x)[/mm] substituiert; und wenn man sie
> > kennt, kann man sie auch bei den Beispielen Deinerseits (an
> > manchen Stellen) direkt anwenden, anstatt zu
> > substituieren):
> >
> > 1.) Zu [mm]\int \bruch{6}{2x+4}\;dx[/mm]:
> >
> > Substituiere [mm]\black{y}:=y(x)=2x+4[/mm] und beachte, dass
> > [mm]\ln'(y)=\frac{1}{y}[/mm] für [mm]\black{y} > 0[/mm] (oder
> > [mm](\ln(|y|))'=\frac{1}{y}[/mm] für [mm]\black{y} \not=0[/mm]).
>
> Was beudeutet denn ln ?
Das ist der natürliche Logrithmus, also der Logarithumus zur Basis $e$ (eulersche Zahl: [mm] $e\approx [/mm] 2,71828$)
Der [mm] $\ln$ [/mm] ist nur für positive x definiert und ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, also
[mm] $ln:\IR^+\to\IR:x\mapsto\ln(x)$
[/mm]
und es gilt [mm] $\ln\left(e^x\right)=x=e^{\ln(x)}$
[/mm]
Zur Ableitung des [mm] $\ln$ [/mm] hat Marcel ja schon einiges geschrieben ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> behandeln wir es einfach mal nach und nach (vorneweg: es
> gibt eine Formel, die, grob gesagt, für geeignete
> Funktionen [mm]\black{f}[/mm] lautet: ([mm]\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx=\ln(f(x))[/mm];
> sie ergibt sich, wenn man in [mm]\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx[/mm]
> dann [mm]\black{y}:=y(x)=f(x)[/mm] substituiert; und wenn man sie
> kennt, kann man sie auch bei den Beispielen Deinerseits (an
> manchen Stellen) direkt anwenden, anstatt zu
> substituieren):
>
> 1.) Zu [mm]\int \bruch{6}{2x+4}\;dx[/mm]:
>
> Substituiere [mm]\black{y}:=y(x)=2x+4[/mm] und beachte, dass
> [mm]\ln'(y)=\frac{1}{y}[/mm] für [mm]\black{y} > 0[/mm] (oder
> [mm](\ln(|y|))'=\frac{1}{y}[/mm] für [mm]\black{y} \not=0[/mm]).
ok,ich hoffe ich verstehte das richtig, dass ich dann durch Anwendung von Substitution schreiben kann: [mm] \bruch{6}{y(x)}, [/mm] da es ja gilt y(x)=2x+4
Aber was soll ich denn jetzt damit machen,ich kann ja immer noch keine Stammfunktion bilden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> > behandeln wir es einfach mal nach und nach (vorneweg: es
> > gibt eine Formel, die, grob gesagt, für geeignete
> > Funktionen [mm]\black{f}[/mm] lautet: ([mm]\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx=\ln(f(x))[/mm];
> > sie ergibt sich, wenn man in [mm]\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx[/mm]
> > dann [mm]\black{y}:=y(x)=f(x)[/mm] substituiert; und wenn man sie
> > kennt, kann man sie auch bei den Beispielen Deinerseits (an
> > manchen Stellen) direkt anwenden, anstatt zu
> > substituieren):
> >
> > 1.) Zu [mm]\int \bruch{6}{2x+4}\;dx[/mm]:
> >
> > Substituiere [mm]\black{y}:=y(x)=2x+4[/mm] und beachte, dass
> > [mm]\ln'(y)=\frac{1}{y}[/mm] für [mm]\black{y} > 0[/mm] (oder
> > [mm](\ln(|y|))'=\frac{1}{y}[/mm] für [mm]\black{y} \not=0[/mm]).
>
> ok,ich hoffe ich verstehte das richtig, dass ich dann durch
> Anwendung von Substitution schreiben kann: [mm]\bruch{6}{y(x)},[/mm]
> da es ja gilt y(x)=2x+4
>
> Aber was soll ich denn jetzt damit machen,ich kann ja immer
> noch keine Stammfunktion bilden ?
Du musst alles substituieren, also auch das $dx$ durch $dy$ ausdrücken. Vielleicht ist es am besten, wenn ich Dir das ganze mal an dem Beispiel vorrechne:
Vorneweg: Beachte, dass man schreiben kann [mm] $f'(x)=\frac{df(x)}{dx}$ [/mm] bzw. $df(x)=f'(x)dx$, wobei die Bedeutung dieser Notation in der Schule (meist) nicht wirklich vernünftig erklärt wird. Dennoch sieht es banal aus, dass die Gleichungen [mm] $f'(x)=\frac{df(x)}{dx}$ [/mm] und $df(x)=f'(x)dx$ zueinander äquivalent sind (und man auch weiter äquivalente Umformungen damit anstellen kann). Also rechne einfach so, als wäre das was banales 
Nun zu Deiner Aufgabe:
Wenn Du [mm] $\int \frac{6}{2x+4}\;dx$ [/mm] hast, und dann $y=y(x)=2x+4$ setzt, so gilt auch $y'(x)=2.$ Mit dem eben vorneweg erzähltem können wir also schreiben:
[mm] $\frac{dy}{dx}=\frac{dy(x)}{dx}=2$ [/mm] und damit [mm] $dx=\frac{dy}{2}$.
[/mm]
Damit
$$
[mm] \int \frac{6}{2x+4}\;dx=6*\int \underbrace{\frac{1}{2x+4}}_{=\frac{1}{y}}\;\underbrace{dx}_{=\frac{dy}{2}}=3*\int \frac{1}{y}\;dy=3*\ln(|y|).
[/mm]
$$
Jetzt noch an die Resubstitution [mm] $\black{y}=y(x)=2x+4$ [/mm] denken, und man erkennt:
$$
[mm] \int \frac{6}{2x+4}\;dx=3*\ln(|2x+4|).
[/mm]
$$
P.S.:
Wenn man ein wenig geübt im Umgang mit der Substitution ist, würde man das ganze eher so notieren:
Vorneweg sei wieder [mm] $\black{y}=y(x)=2x+4$. [/mm] Dann ist $dy=2dx$ und damit
$$
[mm] \int \frac{6}{2x+4}\;dx=\int \frac{3}{2x+4}\;(2dx)=3*\int\frac{1}{y}\;dy=3*\ln(|y|)=3*\ln(|2x+4|)\,.
[/mm]
$$
Gruß,
Marcel
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