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| Aufgabe | | Bestimme die Stammfunktion zu f(x)= [mm] -(x^2-k)/(x^2+k)+1 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab mich längere Zeit mit dieser Aufgabe beschäftigt und verschiedene Ansätze versucht (z.B. Produktintegration) bin allerdings zu keiner Lösung gekommen.
Dann habe ich die Stammfunktion von einem Tool bestimmen lassen und ich bekam eine Lösung mit arctan...
Ist diese Lösung korrekt? Und falls ja muss es für diese Form doch bestimmt ein Grundintegral geben... Könntet ihr mir sagen wie das lautet?
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> Bestimme die Stammfunktion zu f(x)= [mm]-(x^2-k)/(x^2+k)+1[/mm]
Hallo,
Du meinst das so:
[mm] \integral{\bruch{-(x^2-k)}{(x^2+k)}+1 dx}
[/mm]
Brin es zunächst auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
Substituieren dann mit (edit:) [mm] x=\wurzel{k}x, [/mm] und denke über die Ableitung des arctan nach.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ich hab die Aufgabe auch mal ebend "angekratzt" und kam spontan nicht zu einer Lösung; dann rechnete ich sie schriftlich nach ... und kram trotzdem zu keiner Lösung :D
Also ich rechnete wie folgt:
[mm] \integral{\bruch{-(x^2-k)}{(x^2+k)}+1 dx}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{k-x²}{(x^2+k)}+\bruch{(x^2+k)}{(x^2+k)} dx }
[/mm]
[mm] =\integral{ \bruch{2k}{(x^2+k)} dx}
[/mm]
z= xk <=> [mm] x²=(\bruch{z}{k})^2
[/mm]
[mm] z'=k=\bruch{dz}{dx} [/mm] <=> [mm] dx=\bruch{dz}{k}
[/mm]
[mm] =\integral{ \bruch{2k}{(x^2+k)} \bruch{dz}{k}}
[/mm]
[mm] =\integral{ \bruch{2}{((\bruch{z}{k})^2+k)}dz}
[/mm]
Hier frage ich mich am meisten, ob ich theoretisch k auch noch substituieren müsste?
Oder dürfte ich wohl eher gar nicht, weil ich damit wieder ein x in die Gleichung holen würde?
Es stört mich ja nicht wie das x, weil es ja "lediglich eine Konstante ist".
Der eine Schritt, wo ich sowohl x und z in der Gleichung habe, ist natürlich auch nicht schön aber nötig und auch erlaubt?
Nunja dann rechnete ich das ganze noch um zu:
[mm] =\integral{ \bruch{2}{(\bruch{z^2}{k^2})+(\bruch{k^3}{k^2})}dz}
[/mm]
Letztendlich erhalte ich also:
[mm] =\integral{ \bruch{2k^{2}}{z²+k³}dz}
[/mm]
Das z² im Nenner ist ja nicht schlecht, wenn man bedenkt, dass etwas mit dem arctan rauskommen sollte aber wie sollte man das nun so umformen, dass man z²+1 in den Nenner bekommt?
Und sowieso ist hier irgendwo ein Fehler drin; das habe .. ich so im Gefühl :D
Wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar
Lg
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Hallo,
leider ist mir ein Mißgeschick passiert, denn ich habe 1. nicht gut genug gelesen und 2. nicht gut genug gedacht.
Substituiere so:
[mm] x=\wurzel{k}t [/mm] , das klappt natürlich nur für k>0.
Dann klammere im Nenner k aus und ziehe sämtliche konstanten Faktoren vors Intgral. So sollt's dann gehen.
Mein altes Post korrigiere ich später, im Moment ist mein Internet so langsam.
Gruß v. Angela
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