Stammfunktion Kurvenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Bestimmen sie eine Stammfunktion über das Kurvenintegral
f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}
[/mm]
f(x,y,z) := [mm] \pmat{ 2xy+z^{2} \\ x^{2}+2yz \\ y^{2}+2zx } [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde,
ich habe schon einige Aufgaben bezüglich Kurvenintegrale gelöst, jedoch komme ich hier nicht weiter.
Hier ist das Kurvenintegral 2.Ordnung gefragt, das steht fest denke ich. Diese ist definiert als:
[mm] \integral_{a}^{b}{ dt}
[/mm]
In dieser Aufgabe fehlt natürlich die Angabe von [mm] \gamma(t) [/mm] und somit habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] \gamma(t) [/mm] := [mm] \pmat{ \gamma_{1}(t) \\ \gamma_{2}(t) \\ \gamma_{3}(t) }
[/mm]
und habe dann folgendes Integral zu berechnen:
[mm] \integral_{a}^{b}{\pmat{ 2\gamma_{1}(t) \gamma_{2}(t) + \gamma_{3}(t)^{2} \\ \gamma_{1}(t)^{2}+2\gamma_{2}(t) \gamma_{3}(t) \\ \gamma_{2}(t)^{2}+2 \gamma_{3}(t) \gamma_{1}(t) }} [/mm] * [mm] \pmat{ \gamma_{1}'(t) \\ \gamma_{2}'(t) \\ \gamma_{3}'(t) }
[/mm]
Das ist wiederum:
[mm] \integral_{a}^{b}{ 2\gamma_{1}(t) \gamma_{2}(t) \gamma_{1}'(t) + \gamma_{3}(t)^{2} \gamma_{1}'(t) + \gamma_{1}(t)^{2} \gamma_{2}'(t) + 2\gamma_{2}(t) \gamma_{3}(t) \gamma_{2}'(t) + \gamma_{2}(t)^{2} \gamma_{3}'(t) + 2 \gamma_{3}(t) \gamma_{1}(t) \gamma_{3}'(t) }
[/mm]
Ab hier komme ich leider nicht weiter und würde euch um Hilfe bitten.
Vielen Dank im voraus
MFG
Fatih
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Hallo,
hier ist eher gefragt, ob eine Stammfunktion existiert.
Man stellt sich also die Frage nach der Wegunabhängigkeit. Hattet ihr das schon in der Vorlesung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
ich kann mich leider nicht so genau daran erinnern. Aber wenn es Quellen mit Beispielen dazu gibt, wäre ich sehr erfreut oder einen Gedankenstoß.
MFG
Fatih
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Ja, Beispiele gibt es viele. Auch wenn du hier im Forum mal suchst. Wenn du aber auch ein bisschen Theorie haben möchtest (plus Beispiele), dann kannst du dir das hier mal durchlesen:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/files/page/kurvenint.pdf
(Insbesondere eben Kapitel über Potentiale)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo,
habe ich das richtig verstanden, dass man zunächst die Integrabilittät prüft und falls dies der Fall ist, dass man eine geeignete Kurve wählt und prüft, ob die Bedingung stimmt?
Ich habe ein Beispiel gefunden (allerdings im [mm] \IR^{2}), [/mm] wo man dann den geschlossenen Einheitskreis verwendet und guckt, ob dieser =0 ist, falls nicht, existiert keine Stammfunktion nach folgendem Satz:
Sei O [mm] \subset \IR^{p} [/mm] eine offene Menge und f ein Vektorfeld auf O. Das Kurvenintegral [mm] \integral_{\gamma}{f(x) dx} [/mm] ist genau dann für jede stückweise stetig differenzierbare Kurve in O wegunabhängig, wenn das Kurvenintegral von f über jeder geschlossenen, stückweise differenzierbaren Kurve gleich Null ist.
Heißt das ich könnte auch in meinem Beispiel den Einheitskreis verwenden und gucken, ob das Ergebnis =0 ist?
MFG
Fatih
Quelle (S.9, Beispiel 11):
http://analysis.math.uni-mannheim.de/lehre/fs09/anageo/uebung/unsichtbar/Wegintegral_Teil2.pdf
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> Hallo,
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> habe ich das richtig verstanden, dass man zunächst die
> Integrabilittät prüft und falls dies der Fall ist, dass
> man eine geeignete Kurve wählt und prüft, ob die
> Bedingung stimmt?
>
> Ich habe ein Beispiel gefunden (allerdings im [mm]\IR^{2}),[/mm] wo
> man dann den geschlossenen Einheitskreis verwendet und
> guckt, ob dieser =0 ist, falls nicht, existiert keine
> Stammfunktion nach folgendem Satz:
>
> Sei O [mm]\subset \IR^{p}[/mm] eine offene Menge und f ein
> Vektorfeld auf O. Das Kurvenintegral
> [mm]\integral_{\gamma}{f(x) dx}[/mm] ist genau dann für jede
> stückweise stetig differenzierbare Kurve in O
> wegunabhängig, wenn das Kurvenintegral von f über jeder
> geschlossenen, stückweise differenzierbaren Kurve gleich
> Null ist.
>
> Heißt das ich könnte auch in meinem Beispiel den
> Einheitskreis verwenden und gucken, ob das Ergebnis =0
> ist?
Nein, denn du hast ja selbst richtig zitiert:
> wegunabhängig, wenn das Kurvenintegral von f über jeder
> geschlossenen, stückweise differenzierbaren Kurve gleich
> Null ist.
Also hier ist das Wort: "jeder" (!) sehr wichtig. Du müsstest also alle möglichen Kurven überprüfen. Ich würde sagen: Viel Spaß. Wir sehen uns in unendlich vielen Jahren wieder ;)
Es muss also anders gehen.
Entscheidend ist hier: Prüfe, ob wirklich die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. Wenn ja, dann suche eine Funktion [mm] F:\IR^3\to\IR, [/mm] sodass [mm] f=\nabla{F}
[/mm]
Entscheidend für die Aufgabe ist also in dem von dir zitierten PDF:
Satz 10,
Kapitel 4 (Bestimmung einer Stammfunktion)
Strenggenommen muss man hier noch überprüfen, ob der Definitionsbereich sternförmig ist. Du hast aber nur Polynome gegeben, die durch Addition/Multioplikation verknüpft sind. Das ist alles ungefährlich. Freundlicher können die Funktionen kaum sein.
Dein Vorgehen also:
1) Prüfe die Integrabilität ( gleichbedeutend mit: Sind die Ableitungen symmetrisch)
2) Suche eine Funktion F mit [mm] f=\nabla{F}
[/mm]
>
> MFG
> Fatih
>
> Quelle (S.9, Beispiel 11):
>
> http://analysis.math.uni-mannheim.de/lehre/fs09/anageo/uebung/unsichtbar/Wegintegral_Teil2.pdf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
Aufgaben Teil c) besagt:
Bestimmen Sie eine Stammfunktion durch angemessene Integration der Gleichungen (Integrabilitatsbedingungen).
Ich denke hier ist das eher gefragt, oder?
MFG
Fatih
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Guten Morgen,
ja, da hast du natürlich Recht. Du wirst sehen, dass Aufgabe c) deutlich einfacher ist. Darf ich fragen, was dann Aufgabe b) und a) ist?
Ja, es gibt noch eine Methode die offensichtlich hier gefragt ist. Ganz ehrlich? Die Methode wirst du später vermutlich gar nicht mehr verwenden und ich glaube die meisten vergessen diese auch ganz schnell. Dabei nimmt man sich einfach einfache Kurven, sodass man das Kurvenintegral schnell und einfach berechnen kann. So kann man dann Rückschlüsse auf die Stammfunktion schließen.
Sei mir bitte nicht bös' aber diese Methode hier gut zu erklären ist sehr zeitintensiv. Ich schlage dir daher ein Skript von der TU Freiberg vor. Dort ist das Verfahren (plus Beispiel) angegeben. Noch besser: Du bist beide Methoden noch einmal beschrieben, die du hier anwenden sollst.
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Potential.pdf
(ab PDF-Seite 165, Punkt 5.6.1)
Sorry, dass ich dich zunächst auf die falsche Fährte gelockt habe.
Wenn du dazu natürlich noch fragen hast, dann stehen wir, bzw auch ich gerne hier zur Verfügung. Falls du dir also irgendwo unsicher bist, dann kannst du gerne noch einmal nachfragen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Do 05.12.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
danke dir für den super Link! :)
Es hat alles super funktioniert!
Aufgabenteil a) bestand darin die Integrabilität zu zeigen, b) ist im ersten Post beschrieben und c) war das geschickte Umstellen, was auf Anhieb funktionierte bei mir.
Man muss auch erstmal darauf kommen, dass es hier um ein Hakenintegral handelt!
Wenn gewünscht kann ich die Lösung auch Posten
Vielen Dank nochmals!
MFG
Fatih
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