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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 So 11.01.2009 | | Autor: | DaKwark |
| Aufgabe | | Der Graph [mm]G_f[/mm] ([mm]f(x)=arctan\bruch{|x|}{\wurzel{4-x^2}}[/mm]) , die y- Achse sowie die Gerade [mm]y=\bruch{\pi}{2}[/mm] schließen im I. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks! |
Ich stehe bei dieser Aufgabe total auf dem Schlauch! An sich ist es ja das Integral von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2}[/mm] ,aber wie kommt man auf das Integral von der Arcustangens Funktion? Wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte wäre das sehr nett!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Der Graph [mm]G_f[/mm] ([mm]f(x)=arctan\bruch{|x|}{\wurzel{4-x^2}}[/mm]) ,
> die y- Achse sowie die Gerade [mm]y=\bruch{\pi}{2}[/mm] schließen im
> I. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den
> Inhalt dieses Flächenstücks!
> Ich stehe bei dieser Aufgabe total auf dem Schlauch! An
> sich ist es ja das Integral von 0 bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ,aber
> wie kommt man auf das Integral von der Arcustangens
> Funktion? Wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte
> wäre das sehr nett!!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du postest im Schulforum, und ich weiß daher nicht genau, was Du schon so alles kannst.
Vorschlagen würde ich die Substitution x=4sint.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:03 So 11.01.2009 | | Autor: | DaKwark |
Danke auch an dich das du dich so schnell um mein Problem gekümmert hast! Aber schachuzipuss Antwort hat mich vom Schwirigkeitsgrad mehr überzeugt! Im Forum Schule poste ich, da ich ja auch noch zur Schule gehe! Beendet wird sie zwar bald aber das dauert ja noch ein paar Monate! Um dir meinen Wissenshorizont zu erläutern : Ich bin in der 13ten Klasse eines Gymnasiums und bin im Mathe LK mit einer Note pendelnd zwischen 10 und 12 Punkten!
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Hallo DaKwark,
> Der Graph [mm]G_f[/mm] ([mm]f(x)=arctan\bruch{|x|}{\wurzel{4-x^2}}[/mm]) ,
> die y- Achse sowie die Gerade [mm]y=\bruch{\pi}{2}[/mm] schließen im
> I. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den
> Inhalt dieses Flächenstücks!
> Ich stehe bei dieser Aufgabe total auf dem Schlauch! An
> sich ist es ja das Integral von 0 bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
Hmm, naja, es ist eher die Fläche des Rechtecks von x=0 bis x=2 und Höhe [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] und davon das [mm] $\int\limits_{0}^{2}{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right) \ dx}$ [/mm] abgezogen, oder?
Siehe Skizze (das Flächenstück mit dem x drin  )
[Dateianhang nicht öffentlich]
> aber wie kommt man auf das Integral von der Arcustangens
> Funktion? Wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte
> wäre das sehr nett!!
Da du im ersten Quadranten rumturnst, kannst du den Betrag im Zähler weglassen.
Ich bin Angelas Vorschlag nicht nachgegange, sondern habe es alternativ mit einer Kombination aus partieller Integraltion und einer einfachen Substitution gemacht:
Zuerst würde ich eine partielle Integration vorschlagen:
[mm] $\int{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right) \ dx}=\int{1\cdot{}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right) \ dx}$
[/mm]
Nun mit $u'(x)=1$ und [mm] $v(x)=\arctan(...)$ [/mm] partiell integrieren:
Beachte: $u(x)=x$ und [mm] $v'(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$
[/mm]
[mm] $...=x\cdot{}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right) [/mm] \ - \ [mm] \int{\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \ dx}$
[/mm]
Hier nun die Substitution [mm] $z:=4-x^2$ [/mm] für das verbleibende Integral ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:59 So 11.01.2009 | | Autor: | DaKwark |
Ja ok so macht das ganze natürlich Sinn.. Das es so "Simpel" geht hätte ich nicht gedacht. Danke Dir das du dich so schnell um mein Problem gekümmert hast! Ich glaube ich werde mich jetzt mal öfter im Forum rumtreiben um auch anderen auf die Sprünge zu helfen! Hilft sicherlich auch in bestimmte Materien wieder reinzukommen!
(Ich bin grad nichtmehr so in der Bildung von Stammfunktionen drinnen und kenn grad nichtmehr alle Regeln, sollte ich aber bis zum Abi mal wieder durchgehen!)
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