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| Aufgabe | | [mm] \integral{\frac{e^xx^3}{(x+3)^2}dx} [/mm] |
Hallo!
Ich komm einfach nicht drauf wie das geht! Habe schon partiellle Integration mit [mm]v'=e^x \quad u=\frac{x^3}{(x+3)^2}[/mm] versucht und mit [mm]u=\frac{1}{(x+3)^2}[/mm] etc. Beide Ansätze führen auf nicht elementar integriebare Ausdrücke. Kann mir bitte jemand einen kleinen Tipp geben?
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> [mm]\integral{\frac{e^xx^3}{(x+3)^2}dx}[/mm]
> Hallo!
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> Ich komm einfach nicht drauf wie das geht! Habe schon
> partiellle Integration mit [mm]v'=e^x \quad u=\frac{x^3}{(x+3)^2}[/mm]
> versucht und mit [mm]u=\frac{1}{(x+3)^2}[/mm] etc. Beide Ansätze
> führen auf nicht elementar integriebare Ausdrücke. Kann
> mir bitte jemand einen kleinen Tipp geben?
Partielle Integration ist schon genau die richtige Idee.
Mache aber mal zuerst eine Polynomdivision (und PBZ für den "Rest"):
[mm] $x^3:(x+3)^2$, [/mm] also [mm] $x^3:(x^2+6x+9)=x-6+\frac{27}{x+3}-\frac{27}{(x+3)^2}$
[/mm]
Damit bereche mit partieller Integration [mm] $\int{e^x\cdot{}\left(x-6+\frac{27}{x+3}-\frac{27}{(x+3)^2}\right) \ dx}$
[/mm]
setze [mm] $u'=e^x$ [/mm] und [mm] $v=x-6+\frac{27}{x+3}-\frac{27}{(x+3)^2}$
[/mm]
Damit werden die Ausdrücke, die du bekommst, auch integrierbar 
Versuche mal, wie weit du kommst ...
>
> Gruß
>
> Angelika
LG
schachuzipus
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Vielen Dank Schachuzipus!
Soweit war ich ja eigentlich schon(Bei meinem Versuch mit [mm] v'=e^x \quad u=\frac{x^3}{(x+3)^2} [/mm])... Die "nicht elementar integriebaren Ausdrücke" kommen nach dieser 1. partiellen integration und zwar entsteht [mm]\integral{e^x(\frac{x^2}{2}-6x+27ln|x+3|+\frac{27}{x+3})dx}[/mm] Dabei habe ich eigentlich die weitere Integration noch gar nicht versucht sondern die einzelnen Summanden nach Ausmultiplizieren erstmal in Derive eingetippt welches das letzte und vorletze Integral nicht vollständig zu integrieren vermag!
Gruß
Angelika
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank Schachuzipus!
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> Soweit war ich ja eigentlich schon(Bei meinem Versuch mit
> [mm]v'=e^x \quad u=\frac{x^3}{(x+3)^2} [/mm])... Die "nicht
> elementar integriebaren Ausdrücke" kommen nach dieser 1.
> partiellen integration und zwar entsteht
> [mm]\integral{e^x(\frac{x^2}{2}-6x+27ln|x+3|+\frac{27}{x+3})dx}[/mm]
> Dabei habe ich eigentlich die weitere Integration noch gar
> nicht versucht sondern die einzelnen Summanden nach
> Ausmultiplizieren erstmal in Derive eingetippt welches das
> letzte und vorletze Integral nicht vollständig zu
> integrieren vermag!
Das ist kein Wunder, ich hatte ja auch gesagt, dass du [mm] $u'=e^x$ [/mm] und $v=x-6+...$ setzen sollst, also genau andersherum wie du gerechnet hast ...
Vertausche mal die Rollen, dann klappt das auch mit dem Integrieren ...
>
> Gruß
>
> Angelika
LG
schachuzipus
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> [mm]\integral{\frac{e^xx^3}{(x+3)^2}dx}[/mm]
> Hallo!
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> Ich komm einfach nicht drauf wie das geht! Habe schon
> partiellle Integration mit [mm]v'=e^x \quad u=\frac{x^3}{(x+3)^2}[/mm]
> versucht und mit [mm]u=\frac{1}{(x+3)^2}[/mm] etc. Beide Ansätze
> führen auf nicht elementar integriebare Ausdrücke. Kann
> mir bitte jemand einen kleinen Tipp geben?
>
> Gruß
>
> Angelika
Hallo Angelika,
um die etwas "blöden" Nenner loszuwerden,
würde ich zuallererst u:=x+3 mit du=dx
substituieren. Es bleiben aber dann etwa
solche Integrale wie
[mm] \integral\frac{e^{u}}{u}\,du
[/mm]
stehen, die nur durch Reihendarstellung
zu integrieren sind.
LG Al-Chw.
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> [mm]\integral{\frac{e^xx^3}{(x+3)^2}dx}[/mm]
Hallo Angelika,
ich hatte dieses Integral nochmal durchgerechnet
und festgestellt, dass man es tatsächlich auch
"elementar" lösen kann. Ergebnis:
[mm] $\left(x-7+\frac{27}{x+3}\right)*e^x+C$
[/mm]
Die nicht elementar integrierbaren Bestandteile
fielen wie durch ein Wunder einfach wieder raus.
LG Al-Chw.
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