Stammfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 So 30.03.2008 | | Autor: | puldi |
Hallo,
ich soll eine Stammfunktion zu:
x * |x| bilden
Ic dachte so:
-x², für x < 0
x², für x > 0
Also:
-1/3 x³, für x < 0
1/3x³, für x > 0
Also
1/3 sgn(x³)
Stimmt das so?
Bitte verbessert mich, danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 So 30.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich soll eine Stammfunktion zu:
>
> x * |x| bilden
>
> Ic dachte so:
>
> -x², für x < 0
>
> x², für x > 0
Vergiss den Fall x=0 nicht. Der muss in einen deiner beiden Fälle mit rein, z.B. so:
x * |x|=x² für x [mm] \ge [/mm] 0
>
> Also:
>
> -1/3 x³, für x < 0
>
> 1/3x³, für x > 0
(wieder [mm] x\ge [/mm] 0)
>
> Also
>
> 1/3 sgn(x³)
>
> Stimmt das so?
Nein. Du hast die Signumfunktion mit der Betragsfunktion verwechselt.
F(x)=1/3 abs(x³) = abs(1/3 [mm] x^3) [/mm] bzw. mit Betragsstrichen
F(x)=1/3 |x³| = |1/3 [mm] x^3|
[/mm]
Viele Grüe
Abakus
>
> Bitte verbessert mich, danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 30.03.2008 | | Autor: | puldi |
Hallo,
stimmt, danke dir.
Kann man als Ergebnis F(x)=1/3 |x³| stehen lassen oder muss im endergebnis der Betrag um alles?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 30.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> stimmt, danke dir.
>
> Kann man als Ergebnis F(x)=1/3 |x³| stehen lassen oder muss
> im endergebnis der Betrag um alles?
Die beiden Schreibweisen sind gleichwertig.
>
> Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 30.03.2008 | | Autor: | puldi |
okay, danke!
Noch eine kleine Frage zu signum.
Signum hat ja keine Stammfunktion, aber die Ableitung von Signm ist die Betragsfunktion!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 So 30.03.2008 | | Autor: | abakus |
> okay, danke!
>
> Noch eine kleine Frage zu signum.
> Signum hat ja keine Stammfunktion, aber die Ableitung von
> Signm ist die Betragsfunktion!?
Nein. Die Signumfunktion ist wie folgt definiert:
[mm] sgn(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für }x>0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \\ -1, & \mbox{für } x<0\end{cases}
[/mm]
Damit ist die Betragsfunktion eine Stammfunktio (nur bei x=0 nicht ableitbar),
und die Ableitung ist 0 (für [mm] x\ne [/mm] 0).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 30.03.2008 | | Autor: | puldi |
Mmm.. in meinem Buch steht nämlich:
Die Betragsfunktion ist an der Stelle x = 0 nicht diff'bar und kann somit auch keine Stammfunktiuon von der Signumfunktion sein.
Aber das stimmt dann ja nicht, oder?
Kann ich mir folgendes merken?:
|x|' = sign(x)
Eigentlich ja nicht, wegen x=0, oder?
|
|
|
| |
|
> |x|' = sign(x)
>Eigentlich ja nicht, wegen x=0, oder?
Nein, das stimmt nicht, genau wegen deiner Begründung.
Man sagt eigentlich
|x|' = [mm] \bruch{|x|}{x}
[/mm]
Da stimmt dann insofern, dass es an der Stelle 0 nicht definiert ist. (Was ja auch richtig ist).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 30.03.2008 | | Autor: | puldi |
Ist sgn(x) denn $ [mm] \bruch{|x|}{x} [/mm] $
ich dachte immer x / |x| ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 30.03.2008 | | Autor: | Andi |
> Ist sgn(x) denn [mm]\bruch{|x|}{x}[/mm]
>
> ich dachte immer x / |x| ?
Hallo Puldi,
Die Funktion sgn (signum, lateinisch für "Zeichen") ordnet jeder Zahl ihr Vorzeichen zu.
[mm]
sgn(x):= \left\{\begin{matrix}
+1 , & \mbox{wenn x > 0 } \\
0 , & \mbox{wenn x = 0 }\\
-1 , & \mbox{wenn x < 0 }
\end{matrix} \right
[/mm]
Du siehst jetzt denke ich , dass für [mm] x\not=0 [/mm] gilt:
[mm]sgn(x)=\bruch{|x|}{x}=\bruch{x}{|x|}[/mm]
Viele Grüße,
Andi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 30.03.2008 | | Autor: | puldi |
Das kann man sich ja richtig gut merken. Also einfach in den Zähler odr Nenner Betrag(x) und in den Nenner bzw Zähler andersrum dann x.
Noch mal zusammengefasst:
Wenn ich Betrag(x) ableite erhalte ich sign(x). Bei x = 0 sind beide Funktionen nicht diff'bar.
Und damit ist |x| die Stammfunktion von sign(x).
Und sign kann ich dann wie oben erläutert darstellen.
Stimmen meine Aussagen so, oder muss man das genauer erklären?
Danke euch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 30.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Und damit ist |x| die Stammfunktion von sign(x).
Nein, denn die Signumfunktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert, also müsste eine Stammfunktion auch auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar sein.
> Wenn ich Betrag(x) ableite erhalte ich sign(x).
Korrekter: Die Betragsfunktion eingeschränkt auf [mm] \IR \backslash{0} [/mm] abgeleitet ergibt die Signumfunktion eingeschränkt auf [mm] \IR \backslash{0}.
[/mm]
|
|
|
|
