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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 So 10.02.2008
Autor: defjam123

Hey Leute!

Versuche grad die Stammfunktion von [mm] f(t)=\bruch{1}{1+ke^{-cnt}} [/mm] zu bilden. Weiß leider nicht wie ich die Stammfunktion von dieser Funktion lösen kann? Wie kann ich hier angehen?

Gruss

        
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Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 So 10.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Versuche grad die Stammfunktion von
> [mm]f(t)=\bruch{1}{1+ke^{-cnt}}[/mm] zu bilden.

Hallo,

betrachten wir

[mm] f(t)=\bruch{1}{1+ke^{-Nt}}=\bruch{1}{1+ke^{-Nt}} [/mm] * [mm] \bruch{e^{Nt}}{e^{Nt}} =\bruch{e^{Nt}}{e^{Nt}+k}, [/mm]

und Du möchtest

[mm] \integral \bruch{e^{Nt}}{e^{Nt}+k}dt [/mm] berechen.

Ich würde nun eine Substitution mit [mm] x=e^{Nt} [/mm]  durchführen, das sollte einen zum Ziel bringen.

Gruß v. Angela



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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 So 10.02.2008
Autor: defjam123

Danke für die Hilfe!
Hab ausversehen die Funktion nicht richtig aufgeschrieben.

[mm] f(t)=\bruch{n}{1+ke^{-cnt}}. [/mm] Ich denke das müsste anders substituiert werden.

Gruss

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Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 So 10.02.2008
Autor: Teufel

Hallo!

Wenn n eine Konstante ist, kannst du sie ja auch vor das Integral ziehen.

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Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:55 So 10.02.2008
Autor: defjam123

jep genau danke!

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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Mo 18.02.2008
Autor: defjam123

danke für die Hilfe.

hab es auf diese Art versucht:
durch Substitution [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^{N*t}}{e^{N*t}+k} dx}; e^{N*t}=x [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x+k} dx} [/mm]

Hab die Integral dann auseinandergeschrieben:
[mm] \integral_{}^{}{{x}dx}=-\integral_{}^{}{{x+k} dx} [/mm]

Mein Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{2}x^{2}+d=-(ln(x)+k*x) [/mm]

Ist das richtig?
Gruss






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Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mo 18.02.2008
Autor: schachuzipus

Hallo defjam,

du hast ein Kuddelmuddel mit deinen Variablen gemacht.

Du musst sorgfältiger aufschreiben:

Du willst das Integral [mm] $\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ d\red{t}}$ [/mm] lösen mit der Substitution [mm] $x:=e^{N\cdot{}t}$ [/mm]


Bedenke, dass du auch das Differential dt durch einen Ausdruck in dx ersetzen musst

Dazu bilde [mm] $x'=\frac{dx}{dt}=N\cdot{}e^{N\cdot{}t}$, [/mm] also [mm] $dt=\frac{dx}{N\cdot{}e^{N\cdot{}t}}=\frac{dx}{N\cdot{}x}$ [/mm]

Das ergibt nun: [mm] $\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ dt}=\int{\frac{x}{x+k} \ \frac{dx}{N\cdot{}x}}=\frac{1}{N}\cdot{}\int{\frac{1}{x+k} \ dx}$ [/mm]

Vollziehe das mal in Ruhe nach und mache dann ab hier weiter...


Lieben Gruß

schachuzipus


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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Mo 18.02.2008
Autor: defjam123

Danke erstmal für die HIlfe!
> Hallo defjam,
>  
> du hast ein Kuddelmuddel mit deinen Variablen gemacht.
>  
> Du musst sorgfältiger aufschreiben:
>  
> Du willst das Integral
> [mm]\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ d\red{t}}[/mm]
> lösen mit der Substitution [mm]x:=e^{N\cdot{}t}[/mm]
>  
>
> Bedenke, dass du auch das Differential dt durch einen
> Ausdruck in dx ersetzen musst
>  
> Dazu bilde [mm]x'=\frac{dx}{dt}=N\cdot{}e^{N\cdot{}t}[/mm], also

Sollte ja die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1+k*e^{-cnt}}. [/mm] Berechne hier aber die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1+k*e^{-nt}} [/mm] Macht aber keinen Unterschied?

> [mm]dt=\frac{dx}{N\cdot{}e^{N\cdot{}t}}=\frac{dx}{N\cdot{}x}[/mm]

Den Schritt versteh ich nicht genau.

>  
> Das ergibt nun: [mm]\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ dt}=\int{\frac{x}{x+k} \ \frac{dx}{N\cdot{}x}}=\frac{1}{N}\cdot{}\int{\frac{1}{x+k} \ dx}[/mm]
>  
> Vollziehe das mal in Ruhe nach und mache dann ab hier
> weiter...
>  
>
> Lieben Gruß
>  
> schachuzipus
>  

Bin dann zum Ergebnis gekommen:
[mm] \bruch{ln(x)+kx}{N} [/mm]

Jetzt muss ich rücksubstituieren:
[mm] \bruch{ln(e^{Nt})+k*e^{N*t}}{N} [/mm]

Könnt ich das jetzt noch vereinfachen?
Gruss


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Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Mo 18.02.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

also, das ist ja mal durcheinander hier ;-)

Ich lese mir gleich nochmal den gesamten post in Ruhe durch, um den roten Faden wiederzufinden ;-)


Aber bleiben wir bei dem Integral [mm] $\int{\frac{e^{Nt}}{e^{Nt}+k} \ dt}$ [/mm]

> Danke erstmal für die HIlfe!
>  > Hallo defjam,

>  >  
> > du hast ein Kuddelmuddel mit deinen Variablen gemacht.
>  >  
> > Du musst sorgfältiger aufschreiben:
>  >  
> > Du willst das Integral
> > [mm]\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ d\red{t}}[/mm]
> > lösen mit der Substitution [mm]x:=e^{N\cdot{}t}[/mm]
>  >  
> >
> > Bedenke, dass du auch das Differential dt durch einen
> > Ausdruck in dx ersetzen musst
>  >  
> > Dazu bilde [mm]x'=\frac{dx}{dt}=N\cdot{}e^{N\cdot{}t}[/mm], also
> Sollte ja die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{1+k*e^{-cnt}}.[/mm]
> Berechne hier aber die Stammfunktion von
> [mm]\bruch{1}{1+k*e^{-nt}}[/mm] Macht aber keinen Unterschied?
>  >

> [mm]dt=\frac{dx}{N\cdot{}e^{N\cdot{}t}}=\frac{dx}{N\cdot{}x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  Den Schritt versteh ich nicht genau.

Das ist nur umgeformt und nach dt umgestellt

wir hatten $\frac{dx}{dt}=Ne^{Nt}$

Dann $\cdot{}dt$ und $:Ne^{Nt}$ auf beiden Seiten.

Das gibt $dt=\frac{dx}{N\blue{e^{Nt}}}$

Wir hatten ja $\blue{x:=e^Nt}}$ substituiert, also gibt das $dt=\frac{dx}{N\blue{x}}$

> >  

> > Das ergibt nun: [mm]\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ dt}=\int{\frac{x}{x+k} \ \frac{dx}{N\cdot{}x}}=\frac{1}{N}\cdot{}\int{\frac{1}{x+k} \ dx}[/mm]
>  
> >  

> > Vollziehe das mal in Ruhe nach und mache dann ab hier
> > weiter...
>  >  
> >
> > Lieben Gruß
>  >  
> > schachuzipus
>  >  
> Bin dann zum Ergebnis gekommen:
>  [mm]\bruch{ln(x)+kx}{N}[/mm]

Das ist zuviel des Guten [mm] $\int{\frac{1}{x+k} \ dx}=\ln(x+k)$ [/mm]  (+ eine Integrationskonstante c)


LG

schachuzipus

>  
> Jetzt muss ich rücksubstituieren:
>  [mm]\bruch{ln(e^{Nt})+k*e^{N*t}}{N}[/mm]
>  
> Könnt ich das jetzt noch vereinfachen?
>  Gruss
>  


Bezug
                                                
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Mo 18.02.2008
Autor: defjam123

Danke dir!

Mein Ergbenis ist also [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+k*e^{-cnt}} dx}=ln(e^{cnt}+k)+d, [/mm] also mit der Konstante c, die ich bei der Berechnung gar nicht einbezogen hatte.

Gruss

Bezug
                                                        
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Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Mo 18.02.2008
Autor: schachuzipus

Hallo deafjam,

> Danke dir!
>  
> Mein Ergbenis ist also
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+k*e^{-cnt}} dx}=ln(e^{cnt}+k)+d,[/mm]
> also mit der Konstante c [mm] \blue{d}, [/mm] die ich bei der Berechnung gar
> nicht einbezogen hatte.
>  
> Gruss


Sehr gut und fast ganz richtig, da fehlt nur eine Kleinigkeit.

Das [mm] $\frac{1}{N}=\frac{1}{cn}$, [/mm] das wir aus dem Integral gezogen hatten (oder war ich das [pfeif]) und dann nicht mehr beachtet haben, musst du noch mit berücksichtigen.

Ansonsten ist's ok!!


LG

schachuzipus

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Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Mo 18.02.2008
Autor: schachuzipus

Hallo noch einmal,

also nach Sichtung der ersten paar posts, ist doch mit Angelas Hinweis und ihrer Umformung alles klar.

setzte N:=cn, dann ist  - siehe Angelas Umformung:

[mm] $\int{\frac{1}{1+ke^{-cnt}} \ dt}=\int{\frac{1}{1+ke^{-Nt}} \ dt}=\int{\frac{e^{Nt}}{e^{Nt}+k} \ dt}$ [/mm]

Welches der Integrale du nun berechnest, kannst du dir aussuchen ...

Das letztere ist ja in diesem thread durchgekaut worden ... ;-)



LG

schachuzipus

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