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| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2x^{2}+9x+12}{x^{2}+6x+10} dx} [/mm] |
Wir sollen hier die Partialbruchzerlegung anwenden. Außerdem ist nur die Stammfunktion mit konstantem Faktor c wichtig, also keine Berechnung mithilfe der Grenzen
zunächst habe ich mal die Polynomdivision angewendet und erhalten:
[mm] 2-\bruch{3x+8}{x^{2}+6x+10}
[/mm]
Nun muss ich das ja aufspalten für die PBZ, aber ich weiss nicht wie das bei einer komplexen Nullstelle funktioniert. In den Unterlagen eines Freundes (E-Technik Student) habe ich folgendes gefunden:
[mm] \bruch{3x+8}{x^{2}+6x+10}=\bruch{A_{1}}{x+3-i}+\bruch{A_{2}}{x+3+i}
[/mm]
das würde für
[mm] A_{1}= \bruch{-1+3i}{2i}
[/mm]
[mm] A_{2}= \bruch{1+3i}{2i}=\bruch{3}{2}-\bruch{1}{2}i
[/mm]
ergeben.
Aber ich tu mich grad schwer damit, da man das ja nicht wie gewohnt einfach für [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] einsetzen kann, oder? Zumindest wüsste ich dann nicht wie ich integrieren soll...
Wäre toll, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft!
mfg
sunshinenight
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 10.04.2006 | | Autor: | prfk |
Moin
Also ob A reell oder complex ist, ist ja egal. Es ist ja von x unabhängig und somit für das Integral irrelevant. Ob deine PBZ jetzt richtig ist, weiß ich nicht. PBZ kann ich leider nicht...
Wenn es dir bloß um die Stammfunktion geht, kann man die auch einfach in nem buch nachschlagen. Wenn du mit der komplexen Zahl im Nenner Probleme hast, dann substituir doch einfach 3+i=z und 3-i=z*. Das macht das ganze dann ein bisschen übersichtlicher.
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An sich habe ich kein Problem mit komplexen Zahlen, da man die ja wie eine konstante behandeln würde.
Als Lösung habe ich eine Stammfunktion vorgegeben, habe aber schon gemerkt, dass es manchmal auch mehrere Möglichkeiten einer richtigen Stammfunktion gibt. Mich stört bei der Vorgehensweise von oben das i, da ich nicht weiss wie ich das Kontrollieren soll, ob ich da richtig gerechnet habe?
Lösung aus dem Lösungsbuch ist:
[mm] 2x-\bruch{3}{2}ln(x^{2}+6x+10)+arctan(x+3)
[/mm]
Wenn ich die ganze Sache ableite, erhalte ich meine Funktion, die ich integrieren soll. Aber ich kann ja in einer Klausur auch nicht davon ausgehen, dass ich immer diese Möglichkeit habe...
Wäre also nett, wenn mir noch mal jemand etwas zu dem Weg von Integral zu Stammfunktion sagen könnte.
mfg
sunshinenight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Di 11.04.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
> Lösung aus dem Lösungsbuch ist:
> [mm]2x-\bruch{3}{2}ln(x^{2}+6x+10)+arctan(x+3)[/mm]
Diese Lösung ist reell und du hast komplex gerechnet deswegen kommst
du auch nicht auf die gleiche Lösung, das heißt aber nicht dass deine falsch ist.
[mm]\int 2- \frac{3x+8}{x^2+6*x+10}\mathrm{d}x =\int 2- \frac{3}{2}*\frac{2x+6}{x^2+6*x+10}-\frac{-1}{x^2+6*x+10}\mathrm{d}x[/mm]
Bei dem Schritt habe ich im Zähler -1 und 1 dazugezählt danach auf zwei Brüche
aufgespalten und beim ersten 3/2 ausgeklammert damit steht hier im Zähler die
Ableitung vom Nenner und das kann man leicht mit ln integrieren.
[mm]\Rightarrow =2*x - \frac{3}{2}*\ln(x^2+6*x+10)+ \int \frac{1}{x^2+6*x+10}\mathrm{d}x[/mm]
So musst noch in der Formelsammlung nachschauen, da wird es ein Stammfunktion geben mit:
[mm]\int \frac{a}{1+(a*x+b)^2}=\arctan(a*x+b) [/mm]
damit folgt aus [mm]\int \frac{1}{x^2+6*x+10}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{1+(x+3)^2}\mathrm{d}x=arctan(x+3)[/mm]
Damit kommst auf deine Stammfunktion, die ist halt reell gerechnet.
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